数列与极限

2.1 数列的定义与表示

数列的定义

数列是按一定次序排列的一列数，它们通常用或表示，其中是数列的第项。
数列可以是有限数列，也可以是无限数列。

数列的表示方法

显式表示法：直接给出数列的通项公式。例如，数列的通项公式为。
递归表示法：用前一项或几项来表示当前项。例如，斐波那契数列的定义为，，以及（）。

2.2 数列的收敛与发散

数列的极限

数列的极限是指当趋于无穷大时，越来越接近某个常数，记作。
形式化定义：对于任意的正数，存在一个正整数，使得当时，。

收敛数列

如果数列存在极限，则称为收敛数列，且为其极限。
例如，数列收敛于 0，因为当趋于无穷大时，越来越接近 0。

发散数列

如果数列不存在有限极限，则称为发散数列。
例如，数列发散，因为它没有趋近于某个常数。

2.3 极限的基本性质与运算法则

极限的唯一性

数列的极限如果存在，则唯一。

极限的四则运算

设，，则有：

夹逼准则

若对于所有成立，且，则。

2.4 常见数列极限

几何级数

数列中，若，则。
例如，数列的极限为 0。

调和数列

数列的极限为 0。
需要注意：如果讨论的是调和级数

那么它不是收敛的，而是发散的。

常见极限公式

。
。
。

数列与极限在经济学中的应用

这章在经济学里回答什么问题

长期会不会稳定下来：看资本存量、债务率、价格水平、人口或资产路径是否收敛到稳态。
无限期问题有没有有限答案：贴现和、无限期效用、永久收入都依赖收敛性。
短期调整会不会爆炸：如果一个动态过程不断偏离均衡，就需要极限工具判断它是否发散。

时间序列分析

用于分析经济变量随时间的变化，如GDP、通货膨胀率等。
通过极限概念，可以研究经济变量在长期趋势下的行为。

增长模型

例如，索洛增长模型中的资本积累方程常用数列来描述资本的变化。
极限用于分析模型在长期均衡状态下的资本水平。

折现因子

经济学中常用数列和极限计算未来现金流的现值。
例如，折现因子收敛于 0，当趋于无穷大时。

这些基本概念和工具在经济学的各个领域中都有重要的应用，帮助经济学家分析动态经济模型、预测经济趋势、进行数据分析等。