第三章：常见求和公式

3.1 算术级数求和

定义

算术级数是指每一项与前一项的差是一个常数的数列，记作，其中是公差。

公式

项算术级数的和公式为：
若已知首项和末项，则求和公式为：

例子

求前 100 个正整数的和：

3.2 等比级数求和

定义

等比级数是指每一项与前一项的比是一个常数的数列，记作，其中是公比。

公式

项等比级数的和公式为：

无限等比级数

若，则无限等比级数的和公式为：

例子

求等比数列前 4 项的和：

3.3 常见求和公式

前项自然数的和

公式：
例子：求前 10 个自然数的和：

前项自然数平方和

公式：
例子：求前 5 个自然数平方和：

前项自然数立方和

公式：
例子：求前 4 个自然数立方和：

前项奇数和

公式：
例子：求前 5 个奇数的和：

前项偶数和

公式：
例子：求前 5 个偶数的和：

3.4 数列求和技巧

分组求和

将数列分组后求和。例如，求数列的和，可以分组为，每组的和为 101，有 50 组，所以总和为。

错位相减

对于一些复杂的数列，可以通过错位相减求和。例如，求数列的前项和，可以先写出和的错位数列，然后相减求和。

倒序相加

对于一些对称数列，可以通过倒序相加求和。例如，求数列的和，可以将数列倒序排列后相加，得每对元素的和为 101，总共有 50 对，所以总和为。

3.5 这章在经济学里回答什么问题

问题 1：多个时期的总量怎么加总

求和公式直接对应多期收入、成本、利润、消费和税收的累计。

问题 2：增长过程累计后到底有多大

等比求和常用于复利、贴现现金流、资本积累和债务滚动。

问题 3：离散模型怎样从逐期量得到总量

当模型按期展开时，很多“总效用”“总成本”“总产出”本质上就是一个求和问题。

典型使用场景

金融中的现值和终值计算。
宏观中的多期消费储蓄模型。
统计中的样本均值、方差和协方差计算。

这些求和公式和技巧在经济学中非常有用，尤其是在统计分析、模型构建和数据处理等方面，帮助经济学家快速准确地计算和分析数据。