集合与逻辑

1.1 集合的基本概念

集合的定义

集合是指具有某种特定性质的对象的全体。每一个对象称为该集合的元素。
集合通常用大写字母表示，元素用小写字母表示。

集合的表示方法

列举法：直接列出集合的所有元素，如。
描述法：用集合的性质描述其元素，如。

常见集合

空集：没有任何元素的集合，记作。
全集：包含所有讨论对象的集合，记作。

1.2 子集、并集、交集、补集

子集

若集合的每个元素都是集合的元素，则是的子集，记作。
若且，则。

并集

集合和的并集包含所有在或中的元素，记作。
例如，若，，则。

交集

集合和的交集包含所有同时在和中的元素，记作。
例如，若，，则。

补集

集合的补集包含全集中不在中的元素，记作或。
例如，若，，则。

1.3 笛卡尔积

定义

两个集合和的笛卡尔积是所有有序对，其中且，记作。
例如，若，，则。

应用

笛卡尔积用于定义关系和函数。例如，若和分别表示商品和消费者的集合，则表示所有商品和消费者的组合。

1.4 命题逻辑与谓词逻辑

命题逻辑

命题：一个可以判定真假的陈述。
- 例如，“今天是星期一”是一个命题。
逻辑连接词：用于构建复合命题的词，如“与”（∧）、“或”（∨）、“非”（¬）。

真值表：用于表示复合命题在不同情况下的真假。

例如，命题和的“与”复合命题的真值表如下：


T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

逻辑等价：两个命题逻辑公式在所有可能的真值组合下取相同的真值。
- 例如，与是逻辑等价的。

谓词逻辑

谓词：表示对象间的关系或属性的逻辑函数。
- 例如，“x是学生”可以用谓词表示。
量词：用于表示范围的符号，包括全称量词（∀）和存在量词（∃）。
- 例如，“所有人都是学生”可以表示为。
- “存在一个学生”可以表示为。

1.5 这章在经济学里回答什么问题

问题 1：我们研究的对象到底是谁

集合帮助你把“消费者集合”“厂商集合”“商品集合”“状态集合”分清楚，不然模型里的符号没有边界。

问题 2：一个经济结果由哪些对象配对形成

笛卡尔积用来表示“消费者-商品”“国家-商品”“状态-行动”这类组合，很多函数本质上都是定义在这些组合上的。

问题 3：一个命题什么时候成立

命题逻辑和谓词逻辑帮助你写清楚“若价格上升则需求下降”“对所有消费者都成立”还是“至少存在一个例外”。

典型使用场景

博弈论里定义玩家集合、策略集合、收益函数。
一般均衡里定义消费者集合、厂商集合、商品集合和偏好关系。
国际经济学里区分国家集合、商品集合、要素集合。

这些逻辑工具在经济学中的应用非常广泛。例如，在博弈论中，用逻辑表达策略和支付函数；在市场分析中，用集合表示不同市场参与者的集合及其相互关系。