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二叉插入排序（Binary Insertion Sort）

二叉插入排序（Binary Insertion Sort）是一种优化的插入排序算法，它通过使用二分查找来提高查找插入位置的效率。与标准的插入排序相比，二叉插入排序在找到插入位置时更高效，但整体时间复杂度仍然是 (O(n^2)) 因为每次插入操作仍需要移动元素。

算法步骤

1. 遍历数组: 从第二个元素开始，逐个遍历数组中的元素。
2. 二分查找: 对于当前元素，使用二分查找算法在已排序部分中找到它的插入位置。
3. 插入元素: 将当前元素插入到正确的位置，同时将大于当前元素的元素向右移动。
4. 继续: 重复上述步骤直到遍历完整个数组。

代码示例（Go语言实现）

以下是二叉插入排序的 Go 实现示例：

package main

import (
	"fmt"
)

// 二分查找插入位置
func binarySearch(arr []int, target int, low int, high int) int {
	for low <= high {
		mid := low + (high-low)/2
		if arr[mid] == target {
			return mid
		} else if arr[mid] < target {
			low = mid + 1
		} else {
			high = mid - 1
		}
	}
	return low
}

// 二叉插入排序函数
func binaryInsertionSort(arr []int) {
	n := len(arr)
	for i := 1; i < n; i++ {
		key := arr[i]
		j := i - 1

		// 使用二分查找确定插入位置
		insertPos := binarySearch(arr, key, 0, j)

		// 移动元素，为插入新的元素腾出空间
		for k := j; k >= insertPos; k-- {
			arr[k+1] = arr[k]
		}
		arr[insertPos] = key
	}
}

func main() {
	arr := []int{64, 34, 25, 12, 22, 11, 90}
	binaryInsertionSort(arr)
	fmt.Println("Sorted array:", arr)
}

复杂度分析

• 时间复杂度:

  • 最坏情况: $O(n^2)$ （虽然二分查找降低了查找时间，但插入操作需要移动元素）
  • 平均情况: $O(n^2)$
  • 最好情况: $O(n\log n)$ （当数组已接近排序时）

• 空间复杂度: $O(1)$ （原地排序，不需要额外的空间）

稳定性

二叉插入排序是一种稳定的排序算法。由于它在插入时不会改变相等元素的相对顺序，因此适用于需要稳定性的应用场景。

总结

二叉插入排序通过引入二分查找来优化元素插入位置的查找过程，减少了查找插入位置的时间复杂度。尽管如此，由于插入操作仍然需要移动元素，整体时间复杂度依然是 $O(n^2)$。它在小型数据集或对插入排序的改进方案感兴趣的场景中可能会有用。