微分学基础

4.1 函数与导数的定义

函数的定义

函数是将每个输入值映射到唯一的输出值的规则。通常用 $ f(x) $ 表示，其中 $ x $ 是自变量，$ f(x) $ 是因变量。

导数的定义

导数描述了函数的变化率，是函数在某一点的瞬时变化量。设 $ f(x) $ 在点 $ x $ 处可导，则函数在 $ x $ 处的导数 $ f'(x) $ 定义为：

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

这个极限如果存在，则称函数 $ f(x) $ 在 $ x $ 处可导。

4.2 导数的基本规则

常数函数的导数

如果 $ f(x) = c $（其中 $ c $ 是常数），则 $ f'(x) = 0 $。

幂函数的导数

如果 $ f(x) = x^n $（其中 $ n $ 是常数），则 $ f'(x) = n x^{n-1} $。

和、差、积、商的导数

和：如果 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都可导，则 $ (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) $。
差：如果 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都可导，则 $ (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x) $。
积：如果 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都可导，则 $ (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) $。
商：如果 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都可导，且 $ g(x) \neq 0 $，则 $ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2} $。

4.3 高阶导数

定义

高阶导数是对导数的导数。例如，二阶导数 $ f''(x) $ 是 $ f'(x) $ 的导数，三阶导数 $ f'''(x) $ 是 $ f''(x) $ 的导数，以此类推。

高阶导数的计算

对 $ f(x) = x^n $，二阶导数 $ f''(x) = n(n-1)x^{n-2} $。
对 $ f(x) = e^x $，所有阶导数都是 $ e^x $ 本身。

4.4 微分的几何意义

切线的斜率

函数 $ f(x) $ 在点 $ (x_0, f(x_0)) $ 的导数 $ f'(x_0) $ 表示切线的斜率。即在该点的切线与 x 轴的夹角的正切值。

切线方程

切线方程可以表示为 $ y - f(x_0) = f'(x_0) (x - x_0) $，其中 $ f'(x_0) $ 是切线的斜率。

4.5 常见函数的导数

指数函数

对 $ f(x) = e^x $，其导数 $ f'(x) = e^x $。

对数函数

对 $ f(x) = \ln(x) $，其导数 $ f'(x) = \frac{1}{x} $。

三角函数

对 $ f(x) = \sin(x) $，其导数 $ f'(x) = \cos(x) $。
对 $ f(x) = \cos(x) $，其导数 $ f'(x) = -\sin(x) $。

反三角函数

对 $ f(x) = \arctan(x) $，其导数 $ f'(x) = \frac{1}{1+x^2} $。

4.6 应用

这章在经济学里回答什么问题

多生产一单位会发生什么：这就是边际成本、边际收益、边际产量问题。
价格或收入轻微变化会带来多大影响：这对应需求弹性、供给弹性和比较静态分析。
什么选择最优：利润最大化、成本最小化、效用最大化都离不开一阶条件和二阶条件。

经济学中的应用

边际成本和边际收益：在生产和成本分析中，导数用于计算边际成本（成本函数的导数）和边际收益（收益函数的导数）。
最大化和最小化问题：导数用于确定函数的极值点（最大值或最小值），例如，优化利润和成本。
需求弹性：通过导数来分析价格变化对需求量的影响，计算需求的价格弹性。

例子

假设生产成本函数为 $ C(x) = 2x^2 + 3x + 5 $，其中 $ x $ 是生产数量。边际成本 $ MC $ 为 $ C'(x) = 4x + 3 $，这是生产每增加一单位产品所需的额外成本。

4.7 微分在西方经济学中的具体使用场景

第 1 章需求与供给

用导数定义需求和供给的点弹性，例如 $ E_d = -\frac{dQ}{dP}\frac{P}{Q} $。
用比较静态分析外生变量变化对均衡价格和均衡数量的影响方向。

第 2 章效用论

用边际效用描述“多消费一单位带来多少额外满足”。
用边际替代率 $ MRS $ 表示无差异曲线在一点的斜率。
消费者最优选择本质上是一个带约束的最优化问题。

第 3 章生产和成本论

用边际产量、边际成本、平均成本分析厂商在不同投入和产量下的变化规律。
用边际技术替代率 $ MRTS $ 表示等产量曲线的斜率。
用一阶条件刻画成本最小化和利润最大化。

第 4 章市场理论

垄断和不完全竞争厂商通过 $ MR=MC $ 选择最优产量。
总收益函数 $ TR(Q) $ 对产量求导得到边际收益 $ MR $。
古诺模型里反应函数和最优产量都依赖最优化思路。

第 6 章一般均衡论和福利经济学

帕累托最优条件中的 $ MRS $、$ MRTS $、$ MRT $ 都是边际概念。
“看不见的手”成立的关键，是消费者和厂商都在做边际上的最优调整。

第 9 章简单国民收入决定理论

边际消费倾向 $ MPC $、边际储蓄倾向 $ MPS $ 都是“收入增加 1 单位时，消费或储蓄增加多少”的导数思想。

第 10 章产品市场和货币市场的一般均衡

投资函数 $ I(r) $、货币需求函数 $ L(Y,r) $ 都在讨论一个变量变化时另一个变量如何变化。
IS 和 LM 的斜率，本质上也是由边际变化关系决定的。

第 13 章经济增长

黄金律条件、资本边际产出、稳态附近的调整方向都依赖导数和边际分析。

这些微分学的基础知识在经济学、工程学、物理学等多个领域中都有广泛的应用，帮助解决实际问题和优化决策。

Hello Economics