微分方程

本章核心问题：价格超调之后如何回调？资本积累的路径会不会滑向稳态？通胀能否被货币紧缩按下来、按多快？凡是「变化的速度取决于当前状态」的经济过程，描述与求解都靠微分方程。

本章脉络

微分方程诞生于微积分的应用现场：牛顿第二定律 $F = m\ddot{x}$ 就是一个二阶微分方程——力决定加速度（状态的变化率的变化率），解方程才能得到轨迹。18—19 世纪，欧拉、拉格朗日、柯西等人发展出系统的求解理论；庞加莱 (1854-1912) 在天体力学中开创的定性方法（不解出显式解、直接分析相图中轨道的走向）在 20 世纪成为动力系统的主流——这一转向对经济学至关重要，因为经济方程大多解不出显式解，但稳定性问题恰恰不需要显式解就能回答。

经济学引入动态，始于对「均衡」的追问。瓦尔拉斯的 tâtonnement（摸索）过程描述价格向均衡的调整，但调整是否收敛，他本人并未解决；萨缪尔森 (1915-2009) 1947 年《经济分析基础》把这个问题变成经济学的方法论纲领：比较静态结论若要与动态稳定性相容（对应原理），就必须显式地写出并检查动态方程。此后，索洛 1956 年增长模型的关键一步（稳态存在性与稳定性）、多恩布什 (1942-2002) 1976 年汇率超调模型（商品价格粘性慢调、资产价格瞬时出清）、卡甘 (1927-2012) 1956 年的通胀动态 $\dot{m}$ 与预期关系，全部是微分方程的经济学成名作。今天宏观与金融的时间序列模型（DSGE、利率期限结构的仿射模型），其骨架仍是常微分方程组。

本章路线：方程的分类（阶数、线性性、常系数与变系数）；一阶方程的三种解法（可分离变量、积分因子、齐次代换）；二阶常系数方程的特征方程法——它的三情形（相异实根、重根、复根）直接对应经济动态的三种形态（单调收敛、临界情形、振荡）；最后是稳定性判据与经济学应用。

核心概念

微分方程及其分类

微分方程是包含未知函数及其导数的方程，解方程即寻找满足它的函数。按未知函数所含自变量个数分为常微分方程（ODE）与偏微分方程（PDE）；按最高阶导数的阶数分为一阶、二阶与高阶；按是否线性叠加分为线性与非线性。给定方程与初始条件（如 $y(t_0) = y_0$）求特解的问题称初值问题；给定两端点条件的问题称边值问题。

为什么经济动态天然写成微分方程？因为「变化速度取决于当前状态」是最普遍的经济结构：资本积累 $\dot{K} = sF(K) - \delta K$（储蓄流减折旧）、通胀调整 $\dot{\pi} = \alpha(Y - Y^*)$（产出缺口驱动菲利普斯曲线）、价格调整 $\dot{p} = \lambda(D - S)$（超额需求推动价格）。经济学关心的是整条路径而非单个时点，一阶信息（当前位置）决定一阶变化率（当前速度）——这正是微分方程的定义结构。

一阶方程的解法

可分离变量：$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = g(x)h(y)$ 时，改写为 $\frac{1}{h(y)}\,\mathrm{d}y = g(x)\,\mathrm{d}x$ 两边各自积分。线性一阶方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x)y = q(x)$：乘以积分因子 $\mu(x) = e^{\int p(x)\,\mathrm{d}x}$ 后左端化为全导数 $(\mu y)' = \mu q$，积分得

$$y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) q(x)\,\mathrm{d}x + C \right)$$

齐次方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = F\left(\frac{y}{x}\right)$：令 $v = y/x$（即 $y = vx$）化为可分离变量。

为什么解法要先分型？因为三条通路各认领一类结构：可分离变量对应「来源与状态可以解耦」的增长过程（人口 $\dot{P} = kP$、资源开采）；积分因子对应「线性驱动的存量调整」（货币需求向目标值的收敛、通胀对货币冲击的响应）；齐次代换对应「规模成比例」的结构。识别结构选对方法，比死记解法更重要——这也是为什么下一节把「指数解」单独供起来：它是一切线性解法的终点。

二阶常系数方程与特征方程

$$a\ddot{y} + b\dot{y} + cy = 0$$

试探解 $y = e^{rx}$ 代入得特征方程 $ar^2 + br + c = 0$，其根的三种情形决定解的形态：

1. 相异实根 $r_1 \neq r_2$：$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$——两个指数过程叠加，单调收敛或发散；
2. 重根 $r$：$y = (C_1 + C_2 x)e^{rx}$——临界情形，恰好停在收敛边缘；
3. 复根 $r = \alpha \pm i\beta$：$y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$——振幅按 $e^{\alpha x}$ 变动的振荡，$\alpha < 0$ 为衰减振荡（收敛），$\alpha > 0$ 为发散振荡。

为什么复根对应振荡不神秘？复指数 $e^{i\beta x} = \cos \beta x + i \sin \beta x$（欧拉公式）的实部是余弦——振荡是负实部复根的余弦分量。乘积因子 $e^{\alpha x}$ 里的实部 $\alpha$ 则掌管振幅的命运。这套判据翻译成经济语言就是：实部全负则均衡稳定（扰动衰减），任一实部为正则不稳定（扰动放大）——与第 8 章特征值稳定性判据完全同源，那里会看到特征值就是特征方程的根本尊。

变系数与高阶方程

变系数线性方程 $\ddot{y} + p(x)\dot{y} + q(x)y = f(x)$ 一般没有统一的初等解法，须结合已知特解降阶、幂级数或数值方法；高阶常系数方程沿用特征方程思路，处理 $n$ 个根的情形。非齐次项 $f(x) \neq 0$ 时，通解 = 齐次通解 + 任一特解（待定系数法或常数变易法求特解）。

为什么「解不出来也要写进教科书」？因为定性分析（庞加莱传统）不依赖显式解：把方程在均衡点线性化，读特征根实部符号，稳定性立判。经济模型几乎全是非线性方程组（索洛模型的生产函数、IS-LM 的联立调整），显式解可遇不可求；「线性化 + 特征值」因此成为宏观动力学的通用工作流，第 8 章的矩阵工具正是它的引擎。

问题与分析

增长率恒定的过程为什么总以指数出现？

设增长率恒为 $k$：$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = kP$。分离变量：$\frac{\mathrm{d}P}{P} = k\,\mathrm{d}t$，积分得 $\ln P = kt + C$，即 $P(t) = P_0 e^{kt}$。「增长率恒定」翻译成微分方程后，解自动是指数——这不是巧合而是定义的重写（指数函数正是「导数正比于自身」的那个函数）。复合利率、人口增长、技术进步、通胀下的货币贬值，凡「按比例复制自身」的过程全是同构。它与离散版的对应（第 2 章的 $e = \lim(1+1/n)^n$）在此闭环：连续复利与离散复利之差，就是微分方程与差分方程之差。

通胀能否被紧缩「按」下来？——一个线性调整模型的读法

把通胀动态写成 $\dot{\pi} = -\beta(\pi - \pi^*) + \gamma u$（$\pi^*$ 为目标通胀，$u$ 为货币冲击，$\beta > 0$）。它是积分因子型的线性方程，通解为

$$\pi(t) = \pi^* + (\pi(0) - \pi^*)e^{-\beta t} + \gamma \int_0^t e^{-\beta(t-s)} u(s)\,\mathrm{d}s$$

三个读数：通胀向目标的收敛速度由 $\beta$ 决定（回落一半所需时间为 $\ln 2 / \beta$，反通胀之慢由此成为政治经济学问题）；冲击的当期效应被 $\gamma$ 放大、随后按 $e^{-\beta t}$ 衰减（货币政策时滞的数学形态）；若把预期引入（$\pi^e$ 随政策调整），静态 $\pi^*$ 变成移动目标——这正是卢卡斯批判 (1976) 攻击的对象：参数 $\beta$、$\gamma$ 并非制度不变量。模型给出方向与速度的直觉，而参数的「政策不变性」要靠宏观经济学自己回答。

推导与例题

例 1：人口增长的初值问题

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = kP$，$P(0) = P_0$。分离变量积分得 $\ln P = kt + \ln P_0$，故 $P(t) = P_0 e^{kt}$。代入数字：年增长率 $k = 3\%$（约与 2020 年代部分撒哈拉以南经济体的人口增速同量级，具体读数以联合国人口司最新公布为准），翻倍时间 $t = \ln 2 / 0.03 \approx 23$ 年——「70 法则」（$70/k\% \approx$ 翻倍年数）是这个解的对数近似。注意模型在 $P$ 变大后必然失真：资源约束使真实增长率下降，逻辑斯蒂方程 $\dot{P} = kP(1 - P/K)$（$K$ 为承载力）在人口与环境经济学中取而代之——它有解析解，且平衡点 $K$ 的稳定性一眼可读。

例 2：二阶方程的三种命运

解 $a\ddot{y} + b\dot{y} + cy = 0$，取 $a = 1$。三种参数给出三种经济形态：

• $\ddot{y} - 3\dot{y} + 2y = 0$：特征根 $1, 2$，$y = C_1 e^{t} + C_2 e^{2t}$——两根皆正，扰动单调放大（泡沫型发散）；
• $\ddot{y} + 3\dot{y} + 2y = 0$：特征根 $-1, -2$，$y = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t}$——两根皆负，单调衰减（稳定调整）；
• $\ddot{y} + 0.4\dot{y} + 1.04y = 0$：判别式 $0.16 - 4.16 < 0$，复根 $r = -0.2 \pm 1.0i$，$y = e^{-0.2t}(C_1 \cos t + C_2 \sin t)$——衰减振荡（乘数—加速数模型在特定参数下的产出路径，萨缪尔森 1939 年的分析）。

三条路径共享同一个方程框架，命运全由系数（结构参数）决定——「改参数就是改命运」，这正是结构改革与政策规则设计在数学上的样子。

局限与后续

其一，确定性假设：本章方程不含随机项，而经济数据充满噪声——随机微分方程（维纳过程进入 $\mathrm{d}P$）是金融学（期权定价的 Black-Scholes 方程）与宏观（DSGE 的冲击传导）的通用语言，超出本课程范围。其二，线性化的边界：稳定性判据只在均衡点附近有效，远离均衡时非线性项接管——危机、区制切换、多重均衡（凯恩斯协调失灵、戴蒙德-迪布维格银行挤兑模型的运行区间）恰恰发生在「远离均衡」的地带，全局分析至今是难题。其三，从连续到离散的互补：季度数据天然离散，差分方程（第 2 章的离散动态）与连续模型在稳定性条件上并不总等价（离散系统的稳定域更小），实证建模须先明确时间结构。其四，经济学后续：最优控制（庞特里亚金最大值原理、拉姆齐问题的连续时间版本）把「解方程」升级为「选方程的最优解」，动态规划（贝尔曼方程）则是它的离散孪生——微分方程因此不只是描述工具，更是现代宏观政策评估（福利分析、规则与相机抉择之争）的底座。