数列与极限 - Hello Economics

数列与极限

2.1 数列的定义与表示

数列的定义

数列是按一定次序排列的一列数，它们通常用 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ 或 ${a_{n}}$ 表示，其中 $a_{n}$ 是数列的第 $n$ 项。
数列可以是有限数列，也可以是无限数列。

数列的表示方法

显式表示法：直接给出数列的通项公式。例如，数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2}$ 。
递归表示法：用前一项或几项来表示当前项。例如，斐波那契数列 ${F_{n}}$ 的定义为 $F_{1} = 1$ ， $F_{2} = 1$ ，以及 $F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}$ （ $n \geq 3$ ）。

2.2 数列的收敛与发散

数列的极限

数列 ${a_{n}}$ 的极限 $L$ 是指当 $n$ 趋于无穷大时， $a_{n}$ 越来越接近某个常数 $L$ ，记作 $lim_{n \to \infty} a_{n} = L$ 。
形式化定义：对于任意的正数 $ϵ$ ，存在一个正整数 $N$ ，使得当 $n > N$ 时， $∣ a_{n} - L ∣ < ϵ$ 。

收敛数列

如果数列 ${a_{n}}$ 存在极限 $L$ ，则称 ${a_{n}}$ 为收敛数列，且 $L$ 为其极限。
例如，数列 ${\frac{1}{n}}$ 收敛于 0，因为当 $n$ 趋于无穷大时， $\frac{1}{n}$ 越来越接近 0。

发散数列

如果数列 ${a_{n}}$ 不存在有限极限，则称 ${a_{n}}$ 为发散数列。
例如，数列 ${n}$ 发散，因为它没有趋近于某个常数。

2.3 极限的基本性质与运算法则

极限的唯一性

数列的极限如果存在，则唯一。

极限的四则运算

设 $lim_{n \to \infty} a_{n} = A$ ， $lim_{n \to \infty} b_{n} = B$ ，则有： $n \to \infty lim (a_{n} \pm b_{n}) = A \pm B$ $n \to \infty lim (a_{n} \cdot b_{n}) = A \cdot B$ $n \to \infty lim (\frac{a _{n}}{b _{n}}) = \frac{A}{B} (B \neq = 0)$

夹逼准则

若 $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ 对于所有 $n$ 成立，且 $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} c_{n} = L$ ，则 $lim_{n \to \infty} b_{n} = L$ 。

2.4 常见数列极限

几何级数

数列 ${a r^{n}}$ 中，若 $∣ r ∣ < 1$ ，则 $lim_{n \to \infty} a r^{n} = 0$ 。
例如，数列 ${\frac{1}{2 ^{n}}}$ 的极限为 0。

调和级数

数列 ${\frac{1}{n}}$ 的极限为 0。

常见极限公式

$lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n} = e$ 。
$lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1} = 1$ 。
$lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + \dots + n}{n ^{2}} = \frac{1}{2}$ 。

数列与极限在经济学中的应用

时间序列分析

用于分析经济变量随时间的变化，如GDP、通货膨胀率等。
通过极限概念，可以研究经济变量在长期趋势下的行为。

增长模型

例如，索洛增长模型中的资本积累方程常用数列来描述资本的变化。
极限用于分析模型在长期均衡状态下的资本水平。

折现因子

经济学中常用数列和极限计算未来现金流的现值。
例如，折现因子 ${(1 + r)^{- n}}$ 收敛于 0，当 $n$ 趋于无穷大时。

这些基本概念和工具在经济学的各个领域中都有重要的应用，帮助经济学家分析动态经济模型、预测经济趋势、进行数据分析等。