积分学基础
5.1 积分的定义与基本概念
积分的定义
- 积分是对函数进行累积的过程，用于计算面积、体积、总量等。积分可以分为定积分和不定积分。
不定积分
- 不定积分是原函数的集合，表示一个函数的所有原函数的总和。记作： [ \int f(x) , dx ]
- 其中，( F(x) ) 是 ( f(x) ) 的原函数，即 ( F'(x) = f(x) )。不定积分的结果是一个函数加上常数 ( C )（常数积分项），因此： [ \int f(x) , dx = F(x) + C ]
定积分
- 定积分是对函数在给定区间上的积分，计算的结果是一个具体的数值，表示该函数图形下方区域的面积。记作： [ \int_{a}^{b} f(x) , dx ]
- 其中，( a ) 和 ( b ) 是积分的下限和上限。
5.2 积分的基本规则
常数乘法规则
- 对于常数 ( c ) 和函数 ( f(x) )，有： [ \int c \cdot f(x) , dx = c \cdot \int f(x) , dx ]
和/差规则
- 对于函数 ( f(x) ) 和 ( g(x) )，有： [ \int \left(f(x) \pm g(x)\right) , dx = \int f(x) , dx \pm \int g(x) , dx ]
分部积分法
- 对于函数 ( u(x) ) 和 ( v(x) )，有： [ \int u , dv = uv - \int v , du ]
代换法
- 对于函数 ( f(g(x)) \cdot g'(x) )，可以用 ( u = g(x) ) 代换，得到： [ \int f(g(x)) \cdot g'(x) , dx = \int f(u) , du ]
5.3 常见不定积分
幂函数
- 对于 ( \int x^n , dx )（( n \neq -1 )），有： [ \int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ]
指数函数
- 对于 ( \int e^x , dx )，有： [ \int e^x , dx = e^x + C ]
对数函数
- 对于 ( \int \frac{1}{x} , dx )，有： [ \int \frac{1}{x} , dx = \ln|x| + C ]
三角函数
- 对于 ( \int \sin(x) , dx )，有： [ \int \sin(x) , dx = -\cos(x) + C ]
- 对于 ( \int \cos(x) , dx )，有： [ \int \cos(x) , dx = \sin(x) + C ]
5.4 常见定积分
常数函数
- 对于 ( \int_{a}^{b} c , dx )，有： [ \int_{a}^{b} c , dx = c \cdot (b - a) ]
幂函数
- 对于 ( \int_{a}^{b} x^n , dx )（( n \neq -1 )），有： [ \int_{a}^{b} x^n , dx = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} ]
指数函数
- 对于 ( \int_{a}^{b} e^x , dx )，有： [ \int_{a}^{b} e^x , dx = e^b - e^a ]
对数函数
- 对于 ( \int_{a}^{b} \frac{1}{x} , dx )，有： [ \int_{a}^{b} \frac{1}{x} , dx = \ln|b| - \ln|a| ]
三角函数
- 对于 ( \int_{a}^{b} \sin(x) , dx )，有： [ \int_{a}^{b} \sin(x) , dx = -\cos(b) + \cos(a) ]
- 对于 ( \int_{a}^{b} \cos(x) , dx )，有： [ \int_{a}^{b} \cos(x) , dx = \sin(b) - \sin(a) ]
5.5 积分的几何意义
面积计算
- 定积分的几何意义是计算函数图形下方区域的面积。当函数 ( f(x) \geq 0 ) 时，定积分 ( \int_{a}^{b} f(x) , dx ) 表示函数 ( f(x) ) 在区间 ([a, b]) 上的面积。
体积计算
- 积分可以用来计算旋转体的体积，例如通过圆盘法或圆环法计算旋转体的体积。
例子
- 计算函数 ( f(x) = x^2 ) 在区间 ([0, 2]) 上的面积： [ \int_{0}^{2} x^2 , dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{2} = \frac{8}{3} ]
5.6 应用
经济学中的应用
- 总收入计算：通过积分计算总收入或总利润。若价格 ( p(x) ) 是需求函数，销售数量为 ( x )，则总收入 ( R ) 为： [ R = \int_{a}^{b} p(x) , dx ]
- 生产函数：通过积分计算生产函数的累积产出。
- 消费与储蓄模型：在生命周期模型中，积分用于计算消费者的总消费和储蓄。
例子
- 如果需求函数是 ( p(x) = 100 - x )，则在区间 ([0, 50]) 上的总收入为： [ \int_{0}^{50} (100 - x) , dx = \left. 100x - \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{50} = 5000 - 1250 = 3750 ]
这些积分学基础知识在经济学、物理学、工程学等领域具有广泛的应用，帮助分析和解决实际问题。