矩阵与行列式
7.1 矩阵的基本概念
定义
- 矩阵是一个由 m 行 n 列的元素排列成的矩形阵列。矩阵通常用大写字母表示，如 ( A )，并且元素按行列位置表示为 ( a_{ij} )（第 i 行第 j 列）。
矩阵的类型
- 行矩阵：只有一行的矩阵。
- 列矩阵：只有一列的矩阵。
- 方阵：行数与列数相等的矩阵。
- 对称矩阵：满足 ( A = A^T ) 的方阵，其中 ( A^T ) 是 ( A ) 的转置矩阵。
- 反对称矩阵：满足 ( A = -A^T ) 的方阵。
- 对角矩阵：只有主对角线上的元素非零的矩阵。
- 单位矩阵：对角线上的元素为 1，其他元素为 0 的对角矩阵。
矩阵的基本运算
- 加法：两个相同维度的矩阵对应元素相加。 [ (A + B){ij} = a{ij} + b_{ij} ]
- 标量乘法：矩阵的每个元素乘以一个标量。 [ (cA){ij} = c \cdot a{ij} ]
- 矩阵乘法：矩阵 ( A ) 的第 i 行与矩阵 ( B ) 的第 j 列的点积。 [ (AB){ij} = \sum{k} a_{ik} \cdot b_{kj} ]
- 转置：将矩阵的行和列交换。 [ (A^T){ij} = a{ji} ]
- 逆矩阵：满足 ( AA^{-1} = A^{-1}A = I ) 的矩阵，其中 ( I ) 是单位矩阵。只有方阵才可能有逆矩阵。
7.2 行列式
定义
- 行列式是一个与方阵相关的标量值，表示矩阵的“体积”或“面积”，以及矩阵的性质，如是否可逆。记作 ( \text{det}(A) ) 或 ( |A| )。
计算方法
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2x2 矩阵 对于矩阵 [ A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} ] 行列式计算为： [ \text{det}(A) = ad - bc ]
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3x3 矩阵 对于矩阵 [ A = \begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{pmatrix} ] 行列式计算为： [ \text{det}(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) ]
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n x n 矩阵 使用拉普拉斯展开（按行或按列展开），计算方法较复杂： [ \text{det}(A) = \sum_{j} (-1)^{i+j} a_{ij} \text{det}(A_{ij}) ] 其中 ( A_{ij} ) 是去掉第 i 行第 j 列后的子矩阵。
性质
- 可逆性：一个矩阵是可逆的当且仅当其行列式不为零。
- 行列式的乘法：对于两个相同维度的矩阵 ( A ) 和 ( B )，有： [ \text{det}(AB) = \text{det}(A) \cdot \text{det}(B) ]
- 转置矩阵的行列式：对任何矩阵 ( A )，有： [ \text{det}(A^T) = \text{det}(A) ]
- 逆矩阵的行列式：对任何可逆矩阵 ( A )，有： [ \text{det}(A^{-1}) = \frac{1}{\text{det}(A)} ]
7.3 矩阵的应用
线性方程组
- 使用矩阵和行列式解决线性方程组，例如，通过高斯消元法或克拉默法则。
变换和旋转
- 矩阵用于描述和计算几何变换、旋转和缩放。
经济学中的应用
- 投入产出模型：通过矩阵分析经济活动中各部门的投入和产出关系。
- 优化问题：在经济优化问题中使用矩阵求解最优化问题，如线性规划问题。
例子
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线性方程组：解方程组 [ \begin{cases} x + 2y = 5 \ 3x + 4y = 6 \end{cases} ] 可表示为矩阵形式 ( AX = B ) 和使用行列式计算解。
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变换矩阵：对于二维旋转矩阵 [ R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} ] 用于旋转坐标系中的点。
这些矩阵与行列式的基础知识在各个领域中都有广泛的应用，帮助解决实际问题并进行数据分析和处理。