第三章：常见求和公式
3.1 算术级数求和
定义
- 算术级数是指每一项与前一项的差是一个常数的数列，记作 $a, a + d, a + 2d, \ldots$，其中 $d$ 是公差。
公式
- $n$ 项算术级数的和 $S_n$ 公式为： $$ S_n = \frac{n}{2} \left(2a + (n-1)d\right) $$
- 若已知首项 $a$ 和末项 $l$，则求和公式为： $$ S_n = \frac{n}{2} (a + l) $$
例子
- 求前 100 个正整数的和： $$ S_{100} = \frac{100}{2} (1 + 100) = 50 \times 101 = 5050 $$
3.2 等比级数求和
定义
- 等比级数是指每一项与前一项的比是一个常数的数列，记作 $a, ar, ar^2, \ldots$，其中 $r$ 是公比。
公式
- $n$ 项等比级数的和 $S_n$ 公式为： $$ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1) $$
无限等比级数
- 若 $|r| < 1$，则无限等比级数的和 $S$ 公式为： $$ S = \frac{a}{1 - r} $$
例子
- 求等比数列 $3, 6, 12, 24, \ldots$ 前 4 项的和： $$ S_4 = 3 \frac{1 - 2^4}{1 - 2} = 3 \frac{1 - 16}{-1} = 3 \times 15 = 45 $$
3.3 常见求和公式
前 $n$ 项自然数的和
- 公式： $$ \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} $$
- 例子：求前 10 个自然数的和： $$ \sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 \times 11}{2} = 55 $$
前 $n$ 项自然数平方和
- 公式： $$ \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$
- 例子：求前 5 个自然数平方和： $$ \sum_{k=1}^5 k^2 = \frac{5 \times 6 \times 11}{6} = 55 $$
前 $n$ 项自然数立方和
- 公式： $$ \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 $$
- 例子：求前 4 个自然数立方和： $$ \sum_{k=1}^4 k^3 = \left(\frac{4 \times 5}{2}\right)^2 = 100 $$
前 $n$ 项奇数和
- 公式： $$ \sum_{k=1}^n (2k-1) = n^2 $$
- 例子：求前 5 个奇数的和： $$ \sum_{k=1}^5 (2k-1) = 5^2 = 25 $$
前 $n$ 项偶数和
- 公式： $$ \sum_{k=1}^n 2k = n(n+1) $$
- 例子：求前 5 个偶数的和： $$ \sum_{k=1}^5 2k = 5 \times 6 = 30 $$
3.4 数列求和技巧
分组求和
- 将数列分组后求和。例如，求数列 $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$ 的和，可以分组为 $(1+100) + (2+99) + \cdots + (50+51)$，每组的和为 101，有 50 组，所以总和为 $50 \times 101 = 5050$。
错位相减
- 对于一些复杂的数列，可以通过错位相减求和。例如，求数列 $S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$ 的前 $n$ 项和，可以先写出 $S$ 和 $S$ 的错位数列，然后相减求和。
倒序相加
- 对于一些对称数列，可以通过倒序相加求和。例如，求数列 $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$ 的和，可以将数列倒序排列后相加，得每对元素的和为 101，总共有 50 对，所以总和为 $50 \times 101 = 5050$。
3.5 这章在经济学里回答什么问题
问题 1：多个时期的总量怎么加总
- 求和公式直接对应多期收入、成本、利润、消费和税收的累计。
问题 2：增长过程累计后到底有多大
- 等比求和常用于复利、贴现现金流、资本积累和债务滚动。
问题 3：离散模型怎样从逐期量得到总量
- 当模型按期展开时，很多“总效用”“总成本”“总产出”本质上就是一个求和问题。
典型使用场景
- 金融中的现值和终值计算。
- 宏观中的多期消费储蓄模型。
- 统计中的样本均值、方差和协方差计算。
这些求和公式和技巧在经济学中非常有用，尤其是在统计分析、模型构建和数据处理等方面，帮助经济学家快速准确地计算和分析数据。