第三章：常见求和公式
3.1 算术级数求和
定义
- 算术级数是指每一项与前一项的差是一个常数的数列，记作 ( a, a + d, a + 2d, \ldots )，其中 ( d ) 是公差。
公式
- ( n ) 项算术级数的和 ( S_n ) 公式为： [ S_n = \frac{n}{2} \left(2a + (n-1)d\right) ]
- 若已知首项 ( a ) 和末项 ( l )，则求和公式为： [ S_n = \frac{n}{2} (a + l) ]
例子
- 求前 100 个正整数的和： [ S_{100} = \frac{100}{2} (1 + 100) = 50 \times 101 = 5050 ]
3.2 等比级数求和
定义
- 等比级数是指每一项与前一项的比是一个常数的数列，记作 ( a, ar, ar^2, \ldots )，其中 ( r ) 是公比。
公式
- ( n ) 项等比级数的和 ( S_n ) 公式为： [ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1) ]
无限等比级数
- 若 ( |r| < 1 )，则无限等比级数的和 ( S ) 公式为： [ S = \frac{a}{1 - r} ]
例子
- 求等比数列 ( 3, 6, 12, 24, \ldots ) 前 4 项的和： [ S_4 = 3 \frac{1 - 2^4}{1 - 2} = 3 \frac{1 - 16}{-1} = 3 \times 15 = 45 ]
3.3 常见求和公式
前 ( n ) 项自然数的和
- 公式： [ \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} ]
- 例子：求前 10 个自然数的和： [ \sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 \times 11}{2} = 55 ]
前 ( n ) 项自然数平方和
- 公式： [ \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ]
- 例子：求前 5 个自然数平方和： [ \sum_{k=1}^5 k^2 = \frac{5 \times 6 \times 11}{6} = 55 ]
前 ( n ) 项自然数立方和
- 公式： [ \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 ]
- 例子：求前 4 个自然数立方和： [ \sum_{k=1}^4 k^3 = \left(\frac{4 \times 5}{2}\right)^2 = 100 ]
前 ( n ) 项奇数和
- 公式： [ \sum_{k=1}^n (2k-1) = n^2 ]
- 例子：求前 5 个奇数的和： [ \sum_{k=1}^5 (2k-1) = 5^2 = 25 ]
前 ( n ) 项偶数和
- 公式： [ \sum_{k=1}^n 2k = n(n+1) ]
- 例子：求前 5 个偶数的和： [ \sum_{k=1}^5 2k = 5 \times 6 = 30 ]
3.4 数列求和技巧
分组求和
- 将数列分组后求和。例如，求数列 ( 1 + 2 + 3 + \cdots + 100 ) 的和，可以分组为 ( (1+100) + (2+99) + \cdots + (50+51) )，每组的和为 101，有 50 组，所以总和为 ( 50 \times 101 = 5050 )。
错位相减
- 对于一些复杂的数列，可以通过错位相减求和。例如，求数列 ( S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots ) 的前 ( n ) 项和，可以先写出 ( S ) 和 ( S ) 的错位数列，然后相减求和。
倒序相加
- 对于一些对称数列，可以通过倒序相加求和。例如，求数列 ( 1 + 2 + 3 + \cdots + 100 ) 的和，可以将数列倒序排列后相加，得每对元素的和为 101，总共有 50 对，所以总和为 ( 50 \times 101 = 5050 )。
这些求和公式和技巧在经济学中非常有用，尤其是在统计分析、模型构建和数据处理等方面，帮助经济学家快速准确地计算和分析数据。