集合与逻辑

1.1 集合的基本概念

集合的定义

• 集合是指具有某种特定性质的对象的全体。每一个对象称为该集合的元素。
• 集合通常用大写字母表示，元素用小写字母表示。

集合的表示方法

• 列举法：直接列出集合的所有元素，如 $A=\{1,2,3\}$。
• 描述法：用集合的性质描述其元素，如 $B=\{x|x\text{ 是大于0且小于5的整数}\}$。

常见集合

• 空集：没有任何元素的集合，记作 $\varnothing$。
• 全集：包含所有讨论对象的集合，记作 $U$。

1.2 子集、并集、交集、补集

子集

• 若集合 $A$ 的每个元素都是集合 $B$ 的元素，则 $A$ 是 $B$ 的子集，记作 $A\subseteq B$。
• 若 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$，则 $A=B$。

并集

• 集合 $A$ 和 $B$ 的并集包含所有在 $A$ 或 $B$ 中的元素，记作 $A\cup B$。
• 例如，若 $A=\{1,2\}$，$B=\{2,3\}$，则 $A\cup B=\{1,2,3\}$。

交集

• 集合 $A$ 和 $B$ 的交集包含所有同时在 $A$ 和 $B$ 中的元素，记作 $A\cap B$。
• 例如，若 $A=\{1,2\}$，$B=\{2,3\}$，则 $A\cap B=\{2\}$。

补集

• 集合 $A$ 的补集包含全集 $U$ 中不在 $A$ 中的元素，记作 $A^{\prime }$ 或 $\overline{A}$。
• 例如，若 $U=\{1,2,3,4\}$，$A=\{1,2\}$，则 $A^{\prime }=\{3,4\}$。

1.3 笛卡尔积

定义

• 两个集合 $A$ 和 $B$ 的笛卡尔积是所有有序对 $(a,b)$，其中 $a\in A$ 且 $b\in B$，记作 $A\times B$。
• 例如，若 $A=\{1,2\}$，$B=\{3,4\}$，则 $A\times B=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}$。

应用

• 笛卡尔积用于定义关系和函数。例如，若 $A$ 和 $B$ 分别表示商品和消费者的集合，则 $A\times B$ 表示所有商品和消费者的组合。

1.4 命题逻辑与谓词逻辑

命题逻辑

• 命题：一个可以判定真假的陈述。

  • 例如，“今天是星期一”是一个命题。

• 逻辑连接词：用于构建复合命题的词，如“与”（∧）、“或”（∨）、“非”（¬）。

• 真值表：用于表示复合命题在不同情况下的真假。

  • 例如，命题 $p$ 和 $q$ 的“与”复合命题 $p\wedge q$ 的真值表如下：

  $p$	$q$	$p\wedge q$
  T	T	T
  T	F	F
  F	T	F
  F	F	F

• 逻辑等价：两个命题逻辑公式在所有可能的真值组合下取相同的真值。

  • 例如，$p\wedge q$ 与 $q\wedge p$ 是逻辑等价的。

谓词逻辑

• 谓词：表示对象间的关系或属性的逻辑函数。
  • 例如，“x是学生”可以用谓词 $S(x)$ 表示。
• 量词：用于表示范围的符号，包括全称量词（∀）和存在量词（∃）。
  • 例如，“所有人都是学生”可以表示为 $\forall xS(x)$。
  • “存在一个学生”可以表示为 $\exists xS(x)$。

这些逻辑工具在经济学中的应用非常广泛。例如，在博弈论中，用逻辑表达策略和支付函数；在市场分析中，用集合表示不同市场参与者的集合及其相互关系。

数列与极限

2.1 数列的定义与表示

数列的定义

• 数列是按一定次序排列的一列数，它们通常用 $a_1,a_2,a_3,\dots$ 或 $\{a_n\}$ 表示，其中 $a_n$ 是数列的第 $n$ 项。
• 数列可以是有限数列，也可以是无限数列。

数列的表示方法

• 显式表示法：直接给出数列的通项公式。例如，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=n^2$。
• 递归表示法：用前一项或几项来表示当前项。例如，斐波那契数列 $\{F_n\}$ 的定义为 $F_1=1$，$F_2=1$，以及 $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$（$n\ge 3$）。

2.2 数列的收敛与发散

数列的极限

• 数列 $\{a_n\}$ 的极限 $L$ 是指当 $n$ 趋于无穷大时，$a_n$ 越来越接近某个常数 $L$，记作 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=L$。
• 形式化定义：对于任意的正数 $ϵ$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，$|a_n-L|<ϵ$。

收敛数列

• 如果数列 $\{a_n\}$ 存在极限 $L$，则称 $\{a_n\}$ 为收敛数列，且 $L$ 为其极限。
• 例如，数列 $\{\frac{1}{n}\}$ 收敛于 0，因为当 $n$ 趋于无穷大时，$\frac{1}{n}$ 越来越接近 0。

发散数列

• 如果数列 $\{a_n\}$ 不存在有限极限，则称 $\{a_n\}$ 为发散数列。
• 例如，数列 $\{n\}$ 发散，因为它没有趋近于某个常数。

2.3 极限的基本性质与运算法则

极限的唯一性

• 数列的极限如果存在，则唯一。

极限的四则运算

• 设 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=A$，${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=B$，则有： $$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n\pm b_n)=A\pm B$$ $$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n\cdot b_n)=A\cdot B$$ $$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{A}{B}(B\ne 0)$$

夹逼准则

• 若 $a_n\le b_n\le c_n$ 对于所有 $n$ 成立，且 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }{c}_n=L$，则 ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=L$。

2.4 常见数列极限

几何级数

• 数列 $\{a{r}^n\}$ 中，若 $|r|<1$，则 ${\lim }_{n\to \infty }a{r}^n=0$。
• 例如，数列 $\{\frac{1}{2^n}\}$ 的极限为 0。

调和级数

• 数列 $\{\frac{1}{n}\}$ 的极限为 0。

常见极限公式

• ${\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e$。
• ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{n+1}=1$。
• ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1+2+\cdots +n}{n^2}=\frac{1}{2}$。

数列与极限在经济学中的应用

时间序列分析

• 用于分析经济变量随时间的变化，如GDP、通货膨胀率等。
• 通过极限概念，可以研究经济变量在长期趋势下的行为。

增长模型

• 例如，索洛增长模型中的资本积累方程常用数列来描述资本的变化。
• 极限用于分析模型在长期均衡状态下的资本水平。

折现因子

• 经济学中常用数列和极限计算未来现金流的现值。
• 例如，折现因子 $\{(1+r{)}^{-n}\}$ 收敛于 0，当 $n$ 趋于无穷大时。

这些基本概念和工具在经济学的各个领域中都有重要的应用，帮助经济学家分析动态经济模型、预测经济趋势、进行数据分析等。

第三章：常见求和公式

3.1 算术级数求和

定义

• 算术级数是指每一项与前一项的差是一个常数的数列，记作 ( a, a + d, a + 2d, \ldots )，其中 ( d ) 是公差。

公式

• ( n ) 项算术级数的和 ( S_n ) 公式为： [ S_n = \frac{n}{2} \left(2a + (n-1)d\right) ]
• 若已知首项 ( a ) 和末项 ( l )，则求和公式为： [ S_n = \frac{n}{2} (a + l) ]

例子

• 求前 100 个正整数的和： [ S_{100} = \frac{100}{2} (1 + 100) = 50 \times 101 = 5050 ]

3.2 等比级数求和

定义

• 等比级数是指每一项与前一项的比是一个常数的数列，记作 ( a, ar, ar^2, \ldots )，其中 ( r ) 是公比。

公式

• ( n ) 项等比级数的和 ( S_n ) 公式为： [ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1) ]

无限等比级数

• 若 ( |r| < 1 )，则无限等比级数的和 ( S ) 公式为： [ S = \frac{a}{1 - r} ]

例子

• 求等比数列 ( 3, 6, 12, 24, \ldots ) 前 4 项的和： [ S_4 = 3 \frac{1 - 2^4}{1 - 2} = 3 \frac{1 - 16}{-1} = 3 \times 15 = 45 ]

3.3 常见求和公式

前 ( n ) 项自然数的和

• 公式： [ \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} ]
• 例子：求前 10 个自然数的和： [ \sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 \times 11}{2} = 55 ]

前 ( n ) 项自然数平方和

• 公式： [ \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ]
• 例子：求前 5 个自然数平方和： [ \sum_{k=1}^5 k^2 = \frac{5 \times 6 \times 11}{6} = 55 ]

前 ( n ) 项自然数立方和

• 公式： [ \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 ]
• 例子：求前 4 个自然数立方和： [ \sum_{k=1}^4 k^3 = \left(\frac{4 \times 5}{2}\right)^2 = 100 ]

前 ( n ) 项奇数和

• 公式： [ \sum_{k=1}^n (2k-1) = n^2 ]
• 例子：求前 5 个奇数的和： [ \sum_{k=1}^5 (2k-1) = 5^2 = 25 ]

前 ( n ) 项偶数和

• 公式： [ \sum_{k=1}^n 2k = n(n+1) ]
• 例子：求前 5 个偶数的和： [ \sum_{k=1}^5 2k = 5 \times 6 = 30 ]

3.4 数列求和技巧

分组求和

• 将数列分组后求和。例如，求数列 ( 1 + 2 + 3 + \cdots + 100 ) 的和，可以分组为 ( (1+100) + (2+99) + \cdots + (50+51) )，每组的和为 101，有 50 组，所以总和为 ( 50 \times 101 = 5050 )。

错位相减

• 对于一些复杂的数列，可以通过错位相减求和。例如，求数列 ( S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots ) 的前 ( n ) 项和，可以先写出 ( S ) 和 ( S ) 的错位数列，然后相减求和。

倒序相加

• 对于一些对称数列，可以通过倒序相加求和。例如，求数列 ( 1 + 2 + 3 + \cdots + 100 ) 的和，可以将数列倒序排列后相加，得每对元素的和为 101，总共有 50 对，所以总和为 ( 50 \times 101 = 5050 )。

这些求和公式和技巧在经济学中非常有用，尤其是在统计分析、模型构建和数据处理等方面，帮助经济学家快速准确地计算和分析数据。

微分学基础

4.1 函数与导数的定义

函数的定义

• 函数是将每个输入值映射到唯一的输出值的规则。通常用 ( f(x) ) 表示，其中 ( x ) 是自变量，( f(x) ) 是因变量。

导数的定义

• 导数描述了函数的变化率，是函数在某一点的瞬时变化量。设 ( f(x) ) 在点 ( x ) 处可导，则函数在 ( x ) 处的导数 ( f'(x) ) 定义为： [ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} ]
• 这个极限如果存在，则称函数 ( f(x) ) 在 ( x ) 处可导。

4.2 导数的基本规则

常数函数的导数

• 如果 ( f(x) = c )（其中 ( c ) 是常数），则 ( f'(x) = 0 )。

幂函数的导数

• 如果 ( f(x) = x^n )（其中 ( n ) 是常数），则 ( f'(x) = n x^{n-1} )。

和、差、积、商的导数

• 和：如果 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 都可导，则 ( (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) )。
• 差：如果 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 都可导，则 ( (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x) )。
• 积：如果 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 都可导，则 ( (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) )。
• 商：如果 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 都可导，且 ( g(x) \neq 0 )，则 ( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2} )。

4.3 高阶导数

定义

• 高阶导数是对导数的导数。例如，二阶导数 ( f''(x) ) 是 ( f'(x) ) 的导数，三阶导数 ( f'''(x) ) 是 ( f''(x) ) 的导数，以此类推。

高阶导数的计算

• 对 ( f(x) = x^n )，二阶导数 ( f''(x) = n(n-1)x^{n-2} )。
• 对 ( f(x) = e^x )，所有阶导数都是 ( e^x ) 本身。

4.4 微分的几何意义

切线的斜率

• 函数 ( f(x) ) 在点 ( (x_0, f(x_0)) ) 的导数 ( f'(x_0) ) 表示切线的斜率。即在该点的切线与 x 轴的夹角的正切值。

切线方程

• 切线方程可以表示为 ( y - f(x_0) = f'(x_0) (x - x_0) )，其中 ( f'(x_0) ) 是切线的斜率。

4.5 常见函数的导数

指数函数

• 对 ( f(x) = e^x )，其导数 ( f'(x) = e^x )。

对数函数

• 对 ( f(x) = \ln(x) )，其导数 ( f'(x) = \frac{1}{x} )。

三角函数

• 对 ( f(x) = \sin(x) )，其导数 ( f'(x) = \cos(x) )。
• 对 ( f(x) = \cos(x) )，其导数 ( f'(x) = -\sin(x) )。

反三角函数

• 对 ( f(x) = \arctan(x) )，其导数 ( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} )。

4.6 应用

经济学中的应用

• 边际成本和边际收益：在生产和成本分析中，导数用于计算边际成本（成本函数的导数）和边际收益（收益函数的导数）。
• 最大化和最小化问题：导数用于确定函数的极值点（最大值或最小值），例如，优化利润和成本。
• 需求弹性：通过导数来分析价格变化对需求量的影响，计算需求的价格弹性。

例子

• 假设生产成本函数为 ( C(x) = 2x^2 + 3x + 5 )，其中 ( x ) 是生产数量。边际成本 ( MC ) 为 ( C'(x) = 4x + 3 )，这是生产每增加一单位产品所需的额外成本。

这些微分学的基础知识在经济学、工程学、物理学等多个领域中都有广泛的应用，帮助解决实际问题和优化决策。

积分学基础

5.1 积分的定义与基本概念

积分的定义

• 积分是对函数进行累积的过程，用于计算面积、体积、总量等。积分可以分为定积分和不定积分。

不定积分

• 不定积分是原函数的集合，表示一个函数的所有原函数的总和。记作： [ \int f(x) , dx ]
• 其中，( F(x) ) 是 ( f(x) ) 的原函数，即 ( F'(x) = f(x) )。不定积分的结果是一个函数加上常数 ( C )（常数积分项），因此： [ \int f(x) , dx = F(x) + C ]

定积分

• 定积分是对函数在给定区间上的积分，计算的结果是一个具体的数值，表示该函数图形下方区域的面积。记作： [ \int_{a}^{b} f(x) , dx ]
• 其中，( a ) 和 ( b ) 是积分的下限和上限。

5.2 积分的基本规则

常数乘法规则

• 对于常数 ( c ) 和函数 ( f(x) )，有： [ \int c \cdot f(x) , dx = c \cdot \int f(x) , dx ]

和/差规则

• 对于函数 ( f(x) ) 和 ( g(x) )，有： [ \int \left(f(x) \pm g(x)\right) , dx = \int f(x) , dx \pm \int g(x) , dx ]

分部积分法

• 对于函数 ( u(x) ) 和 ( v(x) )，有： [ \int u , dv = uv - \int v , du ]

代换法

• 对于函数 ( f(g(x)) \cdot g'(x) )，可以用 ( u = g(x) ) 代换，得到： [ \int f(g(x)) \cdot g'(x) , dx = \int f(u) , du ]

5.3 常见不定积分

幂函数

• 对于 ( \int x^n , dx )（( n \neq -1 )），有： [ \int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ]

指数函数

• 对于 ( \int e^x , dx )，有： [ \int e^x , dx = e^x + C ]

对数函数

• 对于 ( \int \frac{1}{x} , dx )，有： [ \int \frac{1}{x} , dx = \ln|x| + C ]

三角函数

• 对于 ( \int \sin(x) , dx )，有： [ \int \sin(x) , dx = -\cos(x) + C ]
• 对于 ( \int \cos(x) , dx )，有： [ \int \cos(x) , dx = \sin(x) + C ]

5.4 常见定积分

常数函数

• 对于 ( \int_{a}^{b} c , dx )，有： [ \int_{a}^{b} c , dx = c \cdot (b - a) ]

幂函数

• 对于 ( \int_{a}^{b} x^n , dx )（( n \neq -1 )），有： [ \int_{a}^{b} x^n , dx = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} ]

指数函数

• 对于 ( \int_{a}^{b} e^x , dx )，有： [ \int_{a}^{b} e^x , dx = e^b - e^a ]

对数函数

• 对于 ( \int_{a}^{b} \frac{1}{x} , dx )，有： [ \int_{a}^{b} \frac{1}{x} , dx = \ln|b| - \ln|a| ]

三角函数

• 对于 ( \int_{a}^{b} \sin(x) , dx )，有： [ \int_{a}^{b} \sin(x) , dx = -\cos(b) + \cos(a) ]
• 对于 ( \int_{a}^{b} \cos(x) , dx )，有： [ \int_{a}^{b} \cos(x) , dx = \sin(b) - \sin(a) ]

5.5 积分的几何意义

面积计算

• 定积分的几何意义是计算函数图形下方区域的面积。当函数 ( f(x) \geq 0 ) 时，定积分 ( \int_{a}^{b} f(x) , dx ) 表示函数 ( f(x) ) 在区间 ([a, b]) 上的面积。

体积计算

• 积分可以用来计算旋转体的体积，例如通过圆盘法或圆环法计算旋转体的体积。

例子

• 计算函数 ( f(x) = x^2 ) 在区间 ([0, 2]) 上的面积： [ \int_{0}^{2} x^2 , dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{2} = \frac{8}{3} ]

5.6 应用

经济学中的应用

• 总收入计算：通过积分计算总收入或总利润。若价格 ( p(x) ) 是需求函数，销售数量为 ( x )，则总收入 ( R ) 为： [ R = \int_{a}^{b} p(x) , dx ]
• 生产函数：通过积分计算生产函数的累积产出。
• 消费与储蓄模型：在生命周期模型中，积分用于计算消费者的总消费和储蓄。

例子

• 如果需求函数是 ( p(x) = 100 - x )，则在区间 ([0, 50]) 上的总收入为： [ \int_{0}^{50} (100 - x) , dx = \left. 100x - \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{50} = 5000 - 1250 = 3750 ]

这些积分学基础知识在经济学、物理学、工程学等领域具有广泛的应用，帮助分析和解决实际问题。

微分方程

6.1 微分方程的基本概念

定义

• 微分方程是包含一个或多个未知函数及其导数的方程。目标是找到未知函数满足该方程的解。

分类

• 微分方程按阶数分为常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）。按线性与非线性分为线性微分方程和非线性微分方程。

初值问题与边值问题

• 初值问题：给定微分方程和初始条件，求满足条件的函数。
• 边值问题：给定微分方程和边界条件，求满足条件的函数。

6.2 一阶微分方程

可分离变量的方程

• 形式：( \frac{dy}{dx} = g(x) \cdot h(y) )
• 解法：将方程变形为 ( \frac{1}{h(y)} , dy = g(x) , dx )，然后积分两边。

线性一阶微分方程

• 形式：( \frac{dy}{dx} + p(x) y = q(x) )
• 解法：使用积分因子 ( \mu(x) = e^{\int p(x) , dx} )，得到： [ \mu(x) \cdot \frac{dy}{dx} + \mu(x) \cdot p(x) \cdot y = \mu(x) \cdot q(x) ] 积分得到解： [ y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) \cdot q(x) , dx + C \right) ]

齐次一阶微分方程

• 形式：( \frac{dy}{dx} = \frac{f(x, y)}{g(x, y)} )
• 解法：利用变量替换 ( v = \frac{y}{x} ) 来简化问题。

6.3 二阶微分方程

线性二阶微分方程

• 形式：( a(x) \frac{d^2y}{dx^2} + b(x) \frac{dy}{dx} + c(x) y = f(x) )
• 齐次线性方程：若 ( f(x) = 0 )，求解对应的特征方程。
• 非齐次线性方程：使用常数变易法或待定系数法求特解。

常系数线性二阶微分方程

• 形式：( a \frac{d^2y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 )
• 解法：特征方程为 ( ar^2 + br + c = 0 )。根据特征方程的根，分为三种情况：
  1. 实根不同：解为 ( y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} )
  2. 实根相同：解为 ( y = (C_1 + C_2 x) e^{r x} )
  3. 复根：解为 ( y = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)) )，其中 ( r = \alpha \pm i\beta )

变系数二阶微分方程

• 形式：( \frac{d^2y}{dx^2} + p(x) \frac{dy}{dx} + q(x) y = f(x) )
• 使用变换和变系数法解决特解问题。

6.4 高阶微分方程

线性高阶微分方程

• 形式：( a_n(x) \frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_0(x) y = f(x) )
• 解法包括特征方程法、常数变易法、待定系数法等。

常系数高阶微分方程

• 使用特征方程解决特征根的不同情况。

6.5 微分方程的应用

经济学中的应用

• 经济动态模型：描述经济变量随时间变化的模型，如凯恩斯模型。
• 增长模型：例如洛特卡-沃尔特拉模型描述种群增长。
• 最优化问题：利用微分方程求解最优化路径，如最大利润问题。

例子

• 人口增长模型：假设人口增长率与当前人口成正比，满足微分方程 ( \frac{dP}{dt} = kP )，解为 ( P(t) = P_0 e^{kt} )，其中 ( P_0 ) 是初始人口，( k ) 是增长常数。

**凯恩斯经济模型：**假设经济活动由消费、投资和政府支出构成，通过微分方程描述经济变量之间的动态关系。

这些微分方程的基础知识在经济学、物理学、工程学等领域有广泛的应用，帮助分析和解决实际问题。

矩阵与行列式

7.1 矩阵的基本概念

定义

• 矩阵是一个由 m 行 n 列的元素排列成的矩形阵列。矩阵通常用大写字母表示，如 ( A )，并且元素按行列位置表示为 ( a_{ij} )（第 i 行第 j 列）。

矩阵的类型

• 行矩阵：只有一行的矩阵。
• 列矩阵：只有一列的矩阵。
• 方阵：行数与列数相等的矩阵。
• 对称矩阵：满足 ( A = A^T ) 的方阵，其中 ( A^T ) 是 ( A ) 的转置矩阵。
• 反对称矩阵：满足 ( A = -A^T ) 的方阵。
• 对角矩阵：只有主对角线上的元素非零的矩阵。
• 单位矩阵：对角线上的元素为 1，其他元素为 0 的对角矩阵。

矩阵的基本运算

• 加法：两个相同维度的矩阵对应元素相加。 [ (A + B){ij} = a{ij} + b_{ij} ]
• 标量乘法：矩阵的每个元素乘以一个标量。 [ (cA){ij} = c \cdot a{ij} ]
• 矩阵乘法：矩阵 ( A ) 的第 i 行与矩阵 ( B ) 的第 j 列的点积。 [ (AB){ij} = \sum{k} a_{ik} \cdot b_{kj} ]
• 转置：将矩阵的行和列交换。 [ (A^T){ij} = a{ji} ]
• 逆矩阵：满足 ( AA^{-1} = A^{-1}A = I ) 的矩阵，其中 ( I ) 是单位矩阵。只有方阵才可能有逆矩阵。

7.2 行列式

定义

• 行列式是一个与方阵相关的标量值，表示矩阵的“体积”或“面积”，以及矩阵的性质，如是否可逆。记作 ( \text{det}(A) ) 或 ( |A| )。

计算方法

• 2x2 矩阵 对于矩阵 [ A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} ] 行列式计算为： [ \text{det}(A) = ad - bc ]

• 3x3 矩阵 对于矩阵 [ A = \begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{pmatrix} ] 行列式计算为： [ \text{det}(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) ]

• n x n 矩阵 使用拉普拉斯展开（按行或按列展开），计算方法较复杂： [ \text{det}(A) = \sum_{j} (-1)^{i+j} a_{ij} \text{det}(A_{ij}) ] 其中 ( A_{ij} ) 是去掉第 i 行第 j 列后的子矩阵。

性质

• 可逆性：一个矩阵是可逆的当且仅当其行列式不为零。
• 行列式的乘法：对于两个相同维度的矩阵 ( A ) 和 ( B )，有： [ \text{det}(AB) = \text{det}(A) \cdot \text{det}(B) ]
• 转置矩阵的行列式：对任何矩阵 ( A )，有： [ \text{det}(A^T) = \text{det}(A) ]
• 逆矩阵的行列式：对任何可逆矩阵 ( A )，有： [ \text{det}(A^{-1}) = \frac{1}{\text{det}(A)} ]

7.3 矩阵的应用

线性方程组

• 使用矩阵和行列式解决线性方程组，例如，通过高斯消元法或克拉默法则。

变换和旋转

• 矩阵用于描述和计算几何变换、旋转和缩放。

经济学中的应用

• 投入产出模型：通过矩阵分析经济活动中各部门的投入和产出关系。
• 优化问题：在经济优化问题中使用矩阵求解最优化问题，如线性规划问题。

例子

• 线性方程组：解方程组 [ \begin{cases} x + 2y = 5 \ 3x + 4y = 6 \end{cases} ] 可表示为矩阵形式 ( AX = B ) 和使用行列式计算解。

• 变换矩阵：对于二维旋转矩阵 [ R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} ] 用于旋转坐标系中的点。

这些矩阵与行列式的基础知识在各个领域中都有广泛的应用，帮助解决实际问题并进行数据分析和处理。

特征值与特征向量

8.1 特征值和特征向量的基本概念

定义

• 对于一个方阵 ( A )，如果存在一个非零向量 ( \mathbf{v} ) 和一个标量 ( \lambda )，使得： [ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} ] 那么 ( \lambda ) 称为矩阵 ( A ) 的特征值，( \mathbf{v} ) 称为对应于 ( \lambda ) 的特征向量。

特征方程

• 要找特征值 ( \lambda )，需解特征方程： [ \text{det}(A - \lambda I) = 0 ] 其中 ( I ) 是单位矩阵，( \text{det} ) 表示行列式。

特征向量的计算

• 对于每个特征值 ( \lambda )，求解： [ (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 ] 得到对应的特征向量 ( \mathbf{v} )。

8.2 特征值的计算方法

步骤

1. 构造特征方程：计算 ( A - \lambda I ) 的行列式。
2. 求解特征方程：得到特征值 ( \lambda ) 的代数方程。
3. 求解特征向量：对于每个特征值 ( \lambda )，解 ( (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 ) 找到特征向量。

示例

• 对于矩阵 [ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix} ] 计算特征方程： [ \text{det}(A - \lambda I) = \text{det} \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \ 1 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4 \lambda + 3 ] 解方程 ( \lambda^2 - 4 \lambda + 3 = 0 ) 得到特征值 ( \lambda = 1 ) 和 ( \lambda = 3 )。对应的特征向量可以通过代入特征值求解。

8.3 特征值与特征向量的性质

性质

• 特征值的和：特征值之和等于矩阵的迹（主对角线元素的和）。
• 特征值的积：特征值之积等于矩阵的行列式。
• 相似矩阵：如果矩阵 ( A ) 和 ( B ) 相似，即 ( B = P^{-1}AP )，则 ( A ) 和 ( B ) 具有相同的特征值。
• 正定矩阵：一个对称矩阵 ( A ) 是正定的当且仅当它的所有特征值都大于零。

对称矩阵的特征值和特征向量

• 对称矩阵的特征值是实数，且可以找到一组正交的特征向量。

8.4 特征值与特征向量的应用

数据分析

• 主成分分析（PCA）：用于降维和特征提取，通过计算数据的协方差矩阵的特征值和特征向量来确定数据的主要方向。

动态系统

• 稳定性分析：通过分析系统矩阵的特征值来评估系统的稳定性。

振动分析

• 固有频率：在结构振动分析中，通过求解系统的特征值来找到固有频率和振动模式。

经济学中的应用

• 经济模型的稳定性分析：使用特征值分析经济模型的动态稳定性。
• 优化问题：特征值用于分析优化问题中的二次型形式，帮助确定最优化的方向和步长。

例子

• 二维平面旋转：对于旋转矩阵 [ R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} ] 其特征值是复数单位根，特征向量对应旋转方向。

特征值与特征向量在数学和实际应用中都扮演着重要的角色，它们不仅帮助我们理解矩阵的性质，还在各个科学和工程领域提供了强大的工具。

线性空间与线性变换

9.1 线性空间

定义

• 线性空间（或称向量空间）是一个集合 ( V )，其上的元素称为向量，满足以下两个操作的封闭性：向量加法和标量乘法。即，对于 ( V ) 中的任意向量 ( \mathbf{u} ) 和 ( \mathbf{v} ) 以及标量 ( c )，以下条件成立：
  • 加法：( \mathbf{u} + \mathbf{v} \in V )
  • 标量乘法：( c \mathbf{u} \in V )

基本性质

• 封闭性：对加法和标量乘法封闭。
• 交换律：( \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} )
• 结合律：( (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) )
• 零向量：存在一个零向量 ( \mathbf{0} )，使得 ( \mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u} )。
• 负向量：对于每个向量 ( \mathbf{u} )，存在一个向量 ( -\mathbf{u} ) 使得 ( \mathbf{u} + (-\mathbf{u}) = \mathbf{0} )。
• 分配律：( c (\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c \mathbf{u} + c \mathbf{v} ) 和 ( (c + d) \mathbf{u} = c \mathbf{u} + d \mathbf{u} )
• 单位元：存在单位元 ( 1 ) 使得 ( 1 \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u} )。

子空间

• 子空间是线性空间 ( V ) 的一个子集 ( W )，满足 ( W ) 本身也是一个线性空间。即，对于 ( W ) 中的任意向量 ( \mathbf{u} ) 和 ( \mathbf{v} ) 以及标量 ( c )，都满足子空间的封闭性条件。

线性空间的基与维数

• 基：线性空间的基是一组线性无关的向量集合，它们能够生成整个空间。即，线性空间中的每一个向量都可以表示为基向量的线性组合。
• 维数：线性空间的维数是基的大小，即基中向量的数量。

例子

• 二维平面上的向量空间：所有二维向量 ( \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} ) 形成一个二维线性空间。
• 多项式空间：所有次数不超过 ( n ) 的多项式组成的空间是一个 ( (n+1) ) 维线性空间。

9.2 线性变换

定义

• 线性变换（或线性映射）是一个从一个线性空间 ( V ) 到另一个线性空间 ( W ) 的映射 ( T )，满足线性性条件： [ T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) ] [ T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u}) ]

矩阵表示

• 每个线性变换 ( T ) 可以通过一个矩阵 ( A ) 来表示。对于线性变换 ( T ) 和向量 ( \mathbf{x} )，有： [ T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} ] 其中 ( A ) 是变换矩阵。

变换的性质

• 可逆性：线性变换 ( T ) 是可逆的当且仅当其变换矩阵 ( A ) 是可逆的。即存在一个变换 ( T^{-1} ) 使得： [ T(T^{-1}(\mathbf{y})) = \mathbf{y} ] [ T^{-1}(T(\mathbf{x})) = \mathbf{x} ]
• 特征值与特征向量：线性变换的特征值和特征向量与矩阵的特征值和特征向量相同。
• 相似矩阵：两个矩阵 ( A ) 和 ( B ) 相似，若存在一个可逆矩阵 ( P ) 使得： [ B = P^{-1}AP ] 这意味着它们表示的是相同的线性变换，只是基底不同。

线性变换的核与像

• 核（Null Space）：变换 ( T ) 的核是所有映射到零向量的输入向量集合： [ \text{ker}(T) = {\mathbf{x} \in V \mid T(\mathbf{x}) = \mathbf{0} } ]
• 像（Range）：变换 ( T ) 的像是变换后的所有可能结果的集合： [ \text{im}(T) = { T(\mathbf{x}) \mid \mathbf{x} \in V } ]

例子

• 二维旋转变换：旋转矩阵 [ R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} ] 是一个线性变换，将二维平面上的点绕原点旋转 ( \theta ) 角度。

• 线性映射的例子：对一个三维空间中的向量 ( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} )，线性变换 ( T ) 由矩阵 ( A ) 定义： [ T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} ] 例如，矩阵 ( A ) 可以表示缩放、旋转或其他线性操作。

线性空间和线性变换是线性代数的核心概念，它们在数学、物理、工程以及计算机科学等领域中具有广泛的应用。理解这些概念可以帮助解决实际问题并进行更深入的理论研究。

概率论基础

10.1 概率的基本概念

定义

• 概率论是研究随机事件及其规律性的数学分支。它描述了事件发生的可能性，并通过概率来量化这种可能性。

概率空间

• 样本空间（Sample Space）：所有可能结果的集合，记作 ( S )。
• 事件（Event）：样本空间的一个子集。事件可以是一个单一结果，也可以是多个结果的集合。
• 概率（Probability）：事件发生的可能性，取值在 [0, 1] 之间。

概率的公理

• 非负性：对于任何事件 ( A )，有 ( P(A) \geq 0 )。
• 归一性：样本空间的概率为 1，即 ( P(S) = 1 )。
• 可加性：如果事件 ( A ) 和事件 ( B ) 是互斥的（即 ( A \cap B = \emptyset )），那么 ( P(A \cup B) = P(A) + P(B) )。

10.2 条件概率与独立性

条件概率

• 条件概率是指在事件 ( B ) 已经发生的条件下事件 ( A ) 发生的概率，记作 ( P(A|B) )： [ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} ] 条件概率的前提是 ( P(B) > 0 )。

独立性

• 事件 ( A ) 和事件 ( B ) 是独立的，当且仅当 ( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) )。
• 对于独立事件 ( A ) 和 ( B )，有 ( P(A|B) = P(A) ) 和 ( P(B|A) = P(B) )。

10.3 随机变量与分布

随机变量

• 随机变量是一个将样本空间的每个结果映射到实数的函数。随机变量可以是离散的或连续的。
  • 离散随机变量：取有限个或可数无限个值。例如，掷骰子的点数。
  • 连续随机变量：可以取任意实数值。例如，人的身高。

概率分布

• 离散概率分布：描述离散随机变量的每个可能值及其对应的概率。例如，掷骰子的概率分布是： [ P(X = x) = \frac{1}{6} \quad \text{对于} \ x \in {1, 2, 3, 4, 5, 6} ]
• 连续概率分布：通过概率密度函数（PDF）来描述。例如，正态分布的概率密度函数为： [ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}} ] 其中，( \mu ) 是均值，( \sigma^2 ) 是方差。

期望与方差

• 期望（Expected Value）：随机变量的加权平均值，表示随机变量的中心位置。离散随机变量的期望计算为： [ E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i) ] 连续随机变量的期望计算为： [ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) , dx ]
• 方差（Variance）：随机变量与其期望值之间的平方差的期望，表示随机变量的离散程度。计算公式为： [ \text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] ] 方差的平方根称为标准差（Standard Deviation）。

10.4 常见概率分布

离散分布

• 伯努利分布：描述只有两个可能结果（成功或失败）的随机实验。概率质量函数为： [ P(X = 1) = p, \quad P(X = 0) = 1 - p ]
• 二项分布：描述进行 ( n ) 次独立伯努利试验中成功的次数。概率质量函数为： [ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} ]
• 泊松分布：描述单位时间或单位空间内事件发生的次数。概率质量函数为： [ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} ]

连续分布

• 均匀分布：描述随机变量在某一范围内均匀分布。概率密度函数为： [ f(x) = \frac{1}{b - a}, \quad \text{对于} \ a \leq x \leq b ]
• 正态分布：描述许多自然现象的分布，形状为钟形曲线。其概率密度函数为： [ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}} ]
• 指数分布：描述事件之间的时间间隔。概率密度函数为： [ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad \text{对于} \ x \geq 0 ]

10.5 大数法则与中心极限定理

大数法则

• 大数法则表明，当进行大量独立的随机实验时，样本均值会趋近于期望值。常见的形式有弱大数法则和强大数法则。

中心极限定理

• 中心极限定理表明，对于独立同分布的随机变量，其和的分布趋近于正态分布，即使原始分布不是正态分布。这在样本量足够大的情况下尤其适用。

例子

• 实际应用：在金融市场中，中心极限定理可以用来估计资产收益的分布。
• 调查研究：在社会科学调查中，大数法则用于预测样本均值接近总体均值。

概率论是分析随机现象的基础，广泛应用于统计学、金融、工程、科学研究等领域。掌握概率论的基本概念和定理对于理解和解决实际问题非常重要。

统计学基础

11.1 统计学概述

定义

• 统计学是研究数据收集、分析、解释和呈现的科学。它帮助我们从样本数据中得出关于总体的结论。

统计学的主要分支

• 描述统计：对数据进行汇总和描述，包括计算均值、方差等。
• 推断统计：从样本数据中推断总体特性，包括假设检验、估计等。
• 回归分析：研究变量之间的关系，包括线性回归和非线性回归。

11.2 描述统计

数据类型

• 定性数据：描述类别或类型，例如性别、颜色。
• 定量数据：描述数量或测量值，例如身高、体重。

集中趋势测量

• 均值（Mean）：数据的平均值。计算公式为： [ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i ]
• 中位数（Median）：将数据按升序排列后中间的值。如果数据量为偶数，中位数是中间两个值的平均数。
• 众数（Mode）：数据中出现次数最多的值。

离散程度测量

• 方差（Variance）：数据与均值之间差异的平方的平均数。计算公式为： [ \text{Var}(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 ]
• 标准差（Standard Deviation）：方差的平方根，表示数据的离散程度。计算公式为： [ \text{SD}(X) = \sqrt{\text{Var}(X)} ]
• 极差（Range）：数据的最大值与最小值之差。计算公式为： [ \text{Range} = \max(X) - \min(X) ]

分布图

• 直方图（Histogram）：展示数据分布的图表，将数据分成区间并绘制每个区间的频数。
• 箱线图（Box Plot）：展示数据的四分位数及异常值，包括中位数、上四分位数（Q3）、下四分位数（Q1）和极值。

11.3 推断统计

估计

• 点估计（Point Estimation）：用样本统计量来估计总体参数。例如，用样本均值来估计总体均值。
• 区间估计（Interval Estimation）：给出一个区间，该区间有一定的置信水平包含总体参数。常见的是置信区间（Confidence Interval）。

假设检验

• 原假设（Null Hypothesis, ( H_0 )）：假设样本数据与假设模型一致。
• 备择假设（Alternative Hypothesis, ( H_1 )）：假设样本数据与假设模型不一致。
• p值（p-value）：在原假设为真的情况下，得到观测数据或更极端数据的概率。若 p值小于显著性水平（通常为 0.05），则拒绝原假设。
• 类型I错误与类型II错误：
  • 类型I错误：错误地拒绝了原假设。
  • 类型II错误：错误地接受了原假设。

常见检验

• t检验（t-test）：用于比较两个样本均值是否有显著差异。包括单样本 t 检验、独立样本 t 检验和配对样本 t 检验。
• 卡方检验（Chi-Square Test）：用于检验分类数据的分布是否与预期分布一致。
• 方差分析（ANOVA）：用于比较三个或更多组样本均值是否有显著差异。

11.4 回归分析

简单线性回归

• 模型：描述一个因变量 ( Y ) 与一个自变量 ( X ) 之间的线性关系： [ Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon ] 其中，( \beta_0 ) 是截距，( \beta_1 ) 是斜率，( \epsilon ) 是误差项。

• 最小二乘法（Least Squares Method）：用于估计回归系数 ( \beta_0 ) 和 ( \beta_1 )，通过最小化观测值与预测值之间的平方差来进行。

多元线性回归

• 模型：扩展到多个自变量的情况： [ Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots + \beta_p X_p + \epsilon ] 其中，( X_1, X_2, \ldots, X_p ) 是多个自变量。

回归分析的应用

• 预测：使用回归模型对未来数据进行预测。
• 变量选择：确定哪些自变量对因变量有显著影响。

11.5 统计分析的应用

数据探索

• 通过统计分析探讨数据的特征、趋势和模式。

实验设计

• 设计实验以收集数据并进行有效分析，包括随机化、对照组设置等。

质量控制

• 使用统计方法监控和改进生产过程，确保产品质量。

市场分析

• 分析市场数据，以支持决策，例如消费者行为分析、市场趋势预测等。

统计学是理解数据和从数据中得出结论的工具。掌握统计学基础知识可以帮助进行数据分析、科学研究和决策制定。

参考书籍

• 《西方经济学导论》(第四版) 梁小民
• 《西方经济学》(第八版)高鸿业-微观部分

第 1 章 需求与供给

摘要

第一节 需求曲线

一、需求的概念

• 需求的定义

消费者对一种商品的需求，是指在一个特定时期内消费者在各种可能的价格下愿意而且能购买的该商品的数量。

• 需求的两个特征

1. 具备意愿
2. 购买能力

• 需求的表达方式

1. 需求表
2. 需求曲线
3. 需求函数

二、需求规律和需求曲线

1. 需求规律的表达与需求曲线的形状

三、需求的变动

四、市场需求曲线

一、名词解释

1．需求

消费者对一种商品的需求，是指在一个特定时期内消费者在各种可能的价格下愿意而且能够购买的该商品的数量。

需求既强凋消费者的购买欲望又要求消费者具备购买能力。由于需求规律的作用，消费者对商品的需求量与其价格呈反方向变动。

2．需求规律

需求规律也称为需求定理、需求法则或需求原则，指消费者的需求量与商品价格之间呈反方向变化的规律。

具体而言，在其他条件不变的情况下，一般而论，随着商品价格的升高，消费者愿意并且能够购买的商品数量减少； 相反，随着商品价格的降低，消费者愿意并且能够购买的商品数量增加。 需求规律成立，意味着消费者的需求曲线向右下方倾斜，因而需求曲线向右下方倾斜是需求规律的直观表现。

3．供给

供给是指在其他条件不变的情况下，在一定时期内生产者在各种可能的价格下愿意而且能够提供的该商品的数量。

生产者对某种商品的供给必须具备意愿和能力两个特征。如果生产者对某种商品只有提供出售的愿望，而没有提供出售的能力，则不能形成有效供给，也不能算作供给。 一种商品的供给数量取决于多种因素的影响，其中主要的因素有：

• 该商品的价格
• 生产的成本
• 生产的技术水平
• 相关商品的价格
• 生产者对未来的预期

4．供给规律

供给规律也称为供给定理、供给法则或供给原则，是指生产者的供给量与商品价格之间呈同方向变化的规律。

具体而言，在其他条件不变的情况下，一般而论，随着商品价格的升高，生产者愿意并且能够提供的商品数量增加；相反，随着商品价格的降低，生产者愿意并且能够提供的商品数量减少。 如果供给规律成立，那么生产者的供给曲线向右上方倾斜。

5．均衡价格

均衡价格是指商品的市场需求量与市场供给量相等时的价格。

在市场上，由于供给和需求力量的相互作用，市场价格趋向于均衡价格。如果市场价格高于均衡价格，那么，供给数量大于需求数量，一部分生产者就会因商品卖不出去而被迫降价，从而市场价格下降； 反之，如果市场价格低于均衡价格，那么需求数量大于供给数量，一部分消费者因购买不到所需求的商品而愿意出高价，结果市场价格提高。因此，市场竞争的结果是市场稳定于均衡价格。

6．比较静态分析

比较静态分析是比较分析不同静态均衡状态的方法。

当一个经济模型的外生变量发生变化时将对内生变量均衡数值产生影响。比较静态分析考察这种影响的程度和方向。比较静态分析与静态分析一样抽象掉了时间。 与动态分析不同，比较静态分析忽略内生变量的变动过程，而只考察当原有的条件发生变化时，新的均衡与原有均衡之间的差异。

7．需求的价格弹性

需求的价格弹性反映了相应于价格的变动，需求量变动的敏感程度，用弹性系数加以衡量，被定义为需求量变动的百分比除以价格变动的百分比。

在实践中，可以由点弹性或弧弹性来衡量弹性系数的大小。

8．需求的收入弹性

需求的收入弹性是指相应于消费者收入的变动，需求量变动的敏感程度，其弹性系数定义为需求量变动的百分比除以收入变动的百分比。

利用收入弹性可以对商品进行分类。特别地，食物的收入弹性值反映了一个国的富裕程度。

9．需求的交叉弹性

需求的交叉弹性是指在某特定时间内，某种商品或劳务需求量变动的百分比与另一种相关商品或劳务的价格变动百分比之比。

它被用来测度某种商品或劳务需求量的相对变动对于另一种商品或劳务的价格的相对变动反应的敏感程度。相关商品价格是决定商品需求量的一个重要因素，相关商品价格的变化会引起商品需求量的变化。

需求的交叉价格弧弹性计算公式为：

$$E_{XY}=\frac{\Delta Q_X/Q_X}{\Delta P_Y/P_Y}=\frac{\Delta Q_X}{\Delta P_Y}\cdot \frac{P_Y}{Q_X}$$

需求的交叉价格点弹性计算公式为：

$$E_{XY}=\frac{d{Q}_X}{d{P}_Y}\cdot \frac{P_Y}{Q_X}$$

需求的交叉价格弹性系数的符号取决于所考察的两种商品的相关关系。 交叉弹性系数的性质如下：

• ①当 $E_{XY}>0$ 时，X 与Y 两种产品间有替代关系。
• ②当 $E_{XY}<0$ 时，X 与Y 两种产品间有互补关系。
• ③当 $E_{XY}=0$ 时，X与Y 两种产品间无关系。

10．供给的价格弹性

供给的价格弹性是指，在一定时期内，一种商品的供给量的变动对于该商品的价格的变动的反应程度。

它是商品的供给量变动率与价格变动率之比。供给的价格弹性可分为弧弹性和点弹性。供给的价格弧弹性表示某商品供给曲线上两点之间的弹性。供给的价格点弹性表示某商品供给曲线上某一点的弹性。

11．支持价格

支持价格又称为最低限价，是指政府为了扶植某一行业的生产而规定的该行业产品的最低价格。支持价格总是高于市场决定的均衡价格。

如图 1-1 所示，假设，政府为了扶植该行业的发展，规定了该行业产品最低价格为 $p_1$ 。在 $p_1$ 水平上，供给量大于需求量，其差额为 $(y_1-x_1)$ 。由于供大于求，按市场供求规律的自发作用，价格存在下降的趋势。因此，为了使价格不下跌，政府在规定最低价格的同时，必须对过剩供给的部分实行收购。

12．限制价格

答：限制价格是指政府为了防止某些生活必需品的价格上涨而规定的这些产品的最高价格。限制价格是政府管制物价的措施之一，总是低于市场均衡价格。

如图 1-2 所示，市场均衡价格为 $P_E$ ，政府实施限制价格为 $P_2$ ，在限制价格下将导致经济中存在 $HG$ 的超额需求。 限制价格往往在战争或自然灾害时期加以使用，有些国家对某些生活必需品也长期采取限制价格政策。 限制价格有利于社会稳定，但有许多弊端。 由于商品短缺，政府为了维持这种限制价格，往往采取配给制，限定消费者购买的数量，这时市场上往往会出现抢购、黑市交易、投机现象；而且它不利于刺激生产，造成长期亏损；造成价格扭曲，产生浪费现象。

二、简述题

1．分析并说明引起需求变动的因素是什么。

需求表示在其他条件不变的情况下，消费者在一定时期内，对应于各种可能的价格，愿意而且能够购买的商品的数量。上述定义假定除了商品的价格以外，影响需求量的其他因素不发生变动。 如果价格之外的任何因素发生变动，消费者的需求就会发生变动。这些因素主要包括以下几个方面：

• （1）消费者的收入水平。 消费者的收入水平提高时，会增加对正常品的需求量，减少对劣等品的需求量。 相反，消费者收入水平下降时，会减少对正常品的需求量，增加对劣等品的需求量。

• （2）相关商品的价格。 如果两种商品之间是替代品，另外一种商品价格上升将导致原商品需求量增加； 如果两种商品具有互补关系，则另外一种商品价格上升导致原商品需求量减少。

• （3）消费者的偏好。 当消费者对某种商品的偏好程度增强时，该商品的需求量就会增加。 相反，偏好程度减弱，需求量就会减少。

• （4）消费者对商品的价格预期。 当消费者预期某种商品的价格在将来某一时期会上升时，就会增加对该商品的现期需求量； 当消费者预期某商品的价格在将来某一时期会下降时，就会减少对该商品的现期需求量。

2．引起供给变动的因素是什么？它们是如何影响供给的？

供给表示在其他条件不变的情况下，生产者在一定时期内，对应于各种可能的价格，愿意而且能够提供出售的商品的数量。 上述定义是在其他条件不变的情况下得到的。供给量不仅受到价格的影响，也受到其他因素的影响。除了商品的价格以外，影响供给量的其他因素之一发生变动，生产者的供给就会发生变动。这些因素主要包括：

• （1）生产的成本。 在商品自身价格不变的条件下，生产成本上升会减少利润，从而使商品的供给量减少。相反，生产成本下降会增加利润，从而使商品的供给量增加。

• （2）生产的技术水平。 在一般的情况下，生产技术水平的提高可以降低生产成本，增加生产者的利润，生产者会提供更多的产量。

• （3）相关商品的价格。 如果一个厂商生产两种在原料上具有竞争性的商品，那么相关商品价格提高导致一种商品供给量减少；相反，如果另一种商品是一种联合的副产品，相关商品价格提高将导致一种商品的供给量增加。

• （4）生产者对未来的预期。 如果生产者对未来的预期看好，如预期商品的价格会上涨，生产者在制定生产计划时就会增加产量供给。如果生产者对未来的预期是悲观的，如预期商品的价格会下降，生产者在制定生产计划时就会减少产量供给。

3．运用供求分析说明：

• （1）“谷贱伤农”的道理何在？
• （2）为什么 20 世纪 70 年代石油输出国组织要限制石油产量？

“谷贱伤农”指风调雨顺时，农民收获的粮食数量增加，但是卖粮收入反而减少的现象。

该现象的经济学逻辑是：在其他因素不变的条件下，粮食丰收使得粮食价格下降，并且粮食价格下降的程度大于粮食产量增加的程度。

造成“谷贱伤农”这种经济现象的根本原因在于：农产品的需求价格弹性往往是小于 1 的，即当农产品的价格发生变化时，农产品的需求往往是缺乏弹性的。其分析如图 1-3 所示。

图 1-3 中，农产品的需求曲线 D 是缺乏弹性的。农产品的丰收使供给曲线由 $S$ 的位置向右平移至 $S^{{}^{\prime }}$ 的位置，在缺乏弹性的需求曲线的作用下，农产品的均衡价格大幅度地由 $P_1$ 下降为 $P_2$ 。由于农产品均衡价格的下降幅度大于农产品的均衡数量的增加幅度，最后致使农民总收入量减少。总收入的减少量相当于图中矩形 $O{P}_1{E}_1{Q}_1$ 和 $O{P}_2{E}_2{Q}_2$ 的面积之差。

（2）同样的道理，由于石油为各国的重要能源，其需求价格弹性较小。 在石油的需求没有变化的情况下，石油输出国组织限制石油的供给，会使得石油的价格将上涨。由于各国对石油的需求缺乏弹性，因而石油价格上涨将使得石油输出国组织的总收益增加、若不限制石油供给，供给增加将导致石油价格下降，而供给量的增加不能弥补价格下降对收益所造成的损失，故而他们要限制石油产量。

石油输出国组织限制石油产量，是因为在石油的需求没有变化的情况下，石油的价格将上涨。如图 1-4 所示。 限制石油产量的政策使供给曲线由 $S_1$ 向左平移至 $S_2$ ，均衡点由 $E_1$ 移动到 $E_2$ ，价格从 $P_1$ 上升为 $P_2$ 。价格上升后，需求量由 $Q_1$ 减少为 $Q_2$ ，但 $Q_{2}A{E}_1{Q}_1$ 小于 $P_{1}A{E}_2{P}_2$ ，即总收益增加。

三、计算与证明

若某厂商面对的市场需求曲线为Q=20-3P，求价格 P=2 时需求的点弹性值。该厂商如何调整价格才能使得总收益增加？

• （1）点弹性表示的是需求曲线上某一点的弹性，其计算公式为：

$$E_d=-\frac{dQ}{dP}\cdot \frac{P}{Q}$$

当价格 $P=2$ 时，市场需求为： $Q=20-3\times 2=14$ ，而 $\frac{dQ}{dP}=-3$ 。

因此，当价格 $P=2$ 时需求的点弹性值为：

$$E_d=-(-3)\times 2/14=\frac{3}{7}$$

• （2）由（1）可知，

$$E_d=\frac{3}{7}<1$$

，即该厂商生产的产品的需求相当缺乏弹性。因此，根据需求理论，厂商应该提价以使其收入增加。因为对需求缺乏弹性的商品来说，其销售总收入与价格成正方向变动，即它随价格的提高而增加，随价格的降低而减少。所以，为了提高厂商的收入，对需求缺乏弹性的商品提价可以使得总收益增加。

第 2 章 效用论

一、名词解释

1．效用

效用是指商品或劳务满足人的欲望的能力，即指消费者在消费商品或劳务时所感受到的满足程度。

效用是消费者对商品主观上的偏好和评价。一种商品对消费者是否具有效用，取决于消费者消费这种商品或劳务的欲望，以及这种商品或劳务是否具有满足这种商品或劳务是否具有满足消费者欲望的能力。因此，同一商品会因人、因时、因地之不同而有不同的效用。

2．边际效用递减规律

边际效用递减规律是指特定时期内，在其他商品的消费保持不变的条件下，消费者不断地增加某种商品的消费量，随着该商品消费数量的增加，消费者每增加一单位该商品的消费所获得的效用增加量逐渐减少。

$$MU=\frac{\Delta TU}{\Delta Q}$$

边际效用递减规律是基数效用论的基本假设。导致边际效用递减的原因主要是随着商品数量的增加，商品对人们的刺激降低，并且重要程度也趋于下降。

3．消费者均衡

消费者均衡是指在其他条件不变的情况下，消费者实现效用最大化并将保持不变的一种状态。在基数效用论中，在既定的收入约束条件下，当消费者每单位货币支出的边际效用都等于货币的边际效用时，消费者处于

均衡状态，即：

$$\{\begin{array}{l}\frac{M{U}_1}{P_1}=\frac{M{U}_2}{P_2}=\cdots =\frac{M{U}_n}{P_n}=\lambda \\ p_1{x}_1+\cdots +p_n{x}_n=m\end{array}$$

$P_1,\cdots ,P_n$ 为 $n$ 种的商品价格 $m$ 为消费者的收入 $x_1,\cdots ,x_n$ 为消费者消费 $n$ 种商品的数量 $\lambda$ 货币效用比 $MU$ 边际效用

在序数效用论中，消费者均衡即为无差异曲线与预算约束线的切点。

4．预算约束线

预算约束线又称为预算线、消费可能线和价格线，表示在消费者的收入和商品的价格给定的条件下，消费者的全部收入所能购买到的两种商品的各种组合。假定以 $I$ 表示消费者的既定收入，以 $P_1$ 和 $P_2$ 分别表示商品 1和商品 2 的价格，以 $X_1$ 和 $X_2$ 分别表示商品 1 和商品 2 的数量，则相应的预算式为：

$$P_1{X}_1+P_2{X}_2=I$$

该式表示：消费者的全部收入等于他购买商品 1 和商品 2 的总支出。 由该预算式作出的预算约束线为图 2-1 中的线段 AB 。

图 2-1 中，预算线的横截距 $OB$ 和纵截距 $OA$ 分别表示全部收入用来购买商品 1 和商品 2 的数量。

5．无差异曲线

无差异曲线是序数效用论的一种分析方法，是用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有的数量组合。 或者说，它是表示能够给消费者带来相同的效用水平或满足程度的两种商品的所有的数量组合。无差异曲线如图

图 2-2 中，横轴和纵轴分别表示商品 1 的数量 $X_1$ 和商品 2 的数量 $X_2$ 。 图 2-2 中的曲线表示商品 1 和商品 2的不同组合给消费者带来的效用水平是相同的。与无差异曲线相对应的效用函数为

$$U=f(X_1,X_2)=U_0$$

。其中，$X_1$ 、$X_2$ 分别为商品 1 和商品 2 的消费数量；$U_0$ 是常数，表示某个效用水平。 无差异曲线具有以下三个基本特征：

• 第一，由于通常假定效用函数是连续的，所以，在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，可以有无数条无差异曲线；
• 第二，在同一坐标平面图上的任何两条无差异曲线不会相交；
• 第三，无差异曲线是凸向原点的，即无差异曲线的斜率的绝对值是递减的。

6．商品的边际替代率

商品的边际替代率指在效用水平保持不变的前提条件下，消费者增加一单位第一种商品的消费可以代替的另外一种商品的消费数量。 边际替代率的几何意义是无差异曲线斜率的绝对值。 以 $MRS$ 代表商品的边际替代率， $\Delta x_1$ 和 $\Delta x_2$ 分别是商品 1 和商品 2 的消费变化量，则商品 1 对商品 2 的边际替代率的公式为：

$$MR{S}_{1,2}=-\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}$$

当商品数量的变化趋于无穷小时，则商品的边际替代率公式为：

$$MR{S}_{1,2}=\underset{\Delta X_1\to 0}{\lim }-\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}=-\frac{\mathrm{d}{x}_2}{\mathrm{dx}{x}_1}$$

7．替代效应

由商品的价格变动所引起的商品相对价格的变动，进而由商品的相对价格变动所引起的商品需求量的变动，称为替代效应。 即是指在消费者的实际收入（或效用水平）保持不变的前提下，由于商品价格的相对变化所引起的商品需求量的变化。

8．收入效应

收入效应是因商品价格变动引起消费者实际收入水平变动，进而引起消费者改变消费数量而对商品需求量产生的影响。

二、简述题

1．为什么消费者的需求曲线向右下方倾斜？试利用基数效用论加以说明。

基数效用论者以边际效用递减规律和建立在该规律上的消费者效用最大化的均衡条件为基础推导出消费者的需求曲线是向右下方倾斜的。

• （1）基数效用论者认为，商品的需求价格取决于商品的边际效用。 某一单位的某种商品的边际效用越大，则消费者为购买这一单位的该种商品所愿意支付的价格就越高； 反之，某一单位的某种商品的边际效用越小，则消费者为购买这一单位的该种商品所愿意支付的价格就越低。 由于边际效用递减规律的作用，随着消费者对某一种商品消费量的连续增加，该商品的边际效用是递减的，相应地，消费者为购买这种商品所愿意支付的价格即需求价格也是越来越低的。

（2）在基数效用论下，消费者效用最大化的均衡条件为：$\frac{MU}{p}=\lambda$ 。 它表示：消费者对任何一种商品的最优购买量应该是使最后一元钱购买该商品所带来的边际效用和所付出的这一元钱的货币的边际效用相等。 该式还意味着：由于对于任何一种商品来说，随着需求量的不断增加，边际效用 $MU$ 是递减的，于是，为了保证均衡条件的实现，在货币的边际效用 $\lambda$ 不变的前提下，商品的需求价格 P 必然与 MU 同比例递减。

2．对正常物品而言，为什么消费者的需求曲线向右下方倾斜？请运用收入效应和替代效应加以说明。

正常物品是指消费者对其消费数量随着自身收入增加而增加的商品。正常物品的需求曲线通常向右下方倾斜。这一点可以借助于收入效应和替代效应加以说明。

（1）一种商品价格变动引起对该商品需求量变动的总效应可以分为替代效应和收入效应：

• 替代效应是由商品的价格变动引起商品相对价格变动，进而由商品的相对价格变动所引起的商品需求量的变动；
• 收入效应是由商品的价格变动引起实际收入水平变动，进而由实际收入水平变动所引起的商品需求量的变动。
• 替代效应不改变消费者的效用水平，而收入效应则表示消费者的实际效用水平发生了变化。

（2）如图 2-3 所示，横轴 $O{X}_1$ 和纵轴 $O{X}_2$ 分别表示商品 1 和商品 2 的数量，其中，商品 1 是正常商品。 ${X_1}^{{}^{\prime }}$ 是价格变化前消费者对商品 1 的需求量。商品 1 的价格下降后，商品需求量增加到 ${X_1}^{{}^{\prime \prime \prime }}$ 。商品 1 需求量的增加量为 ${X_1}^{{}^{\prime }}{X_1}^{{}^{\prime \prime \prime }}$ ，这便是商品 1 的价格下降所引起的总效应。

如果作一补偿线 $FG$ ，使该线与价格变化后的预算线 $A{B}^{{}^{\prime }}$ 平行，并与价格变化前的无差异曲线 $U_1$ 相切，则切点处 $c$ 对应的对商品 1 的需求量 ${X_1}^{{}^{\prime \prime \prime }}$ 就是在商品价格变化后，剔除了收入效应的消费量。因此， ${X_1}^{{}^{\prime }}{X_1}^{{}^{\prime \prime }}$ 就是商品1 价格下降后的替代效应， 就是商品 1 价格下降后的收入效应。

可以看出，对于正常物品来说，替代效应与价格呈反方向的变动。收入效应也与价格呈反方向的变动，在它们的共同作用下，总效应必定与价格呈反方向的变动。正因为如此，正常物品的需求曲线是向右下方倾斜的。

3．何为吉芬商品，其需求曲线形状如何？试利用收入效应和替代效应加以说明。

（1）吉芬商品指由英国统计学家罗伯特·吉芬发现，因而以他的姓氏命名的一种需求与价格之间呈反常变化的商品。 吉芬商品的价格与需求量的变动关系违反了需求规律，即：价格越低，购买的越少；价格提高反而购买得更多。因此，吉芬商品的需求量与其价格成正比关系。

（2）如图 2-4 所示，横轴 $O{X}_1$ 和纵轴 $O{X}_2$ 分别表示商品 1 和商品 2 的数量，其中，商品 1 是吉芬物品。 商品 1 的价格 $P_1$ 下降前后的消费者的效用最大化的均衡点分别为 a 点和b 点，相应的商品 1 的需求量的减少量为 ${X_1}^{{}^{\prime }}{X_1}^{{}^{\prime \prime }}$ ，这就是总效应。通过补偿预算线 $FG$ 可得：

• ${X_1}^{{}^{\prime \prime }}{X_1}^{{}^{\prime \prime \prime }}$ 为替代效应；
• ${X_1}^{{}^{\prime }}{X_1}^{{}^{\prime \prime \prime }}$ 是收入效应。

而且，负的收入效应 ${X_1}^{{}^{\prime }}{X_1}^{{}^{\prime \prime \prime }}$ 的绝对值大于正的替代效应 ${X_1}^{{}^{\prime \prime }}{X_1}^{{}^{\prime \prime \prime }}$ 的绝对值，所以，最后形成的总效应 ${X_1}^{{}^{\prime }}{X_1}^{{}^{\prime \prime }}$ 为负值。

吉芬物品是一种特殊的低档物品。 作为低档物品，吉芬物品的替代效应与价格呈反方向的变动，收入效应则与价格呈同方向的变动。 吉芬物品的特殊性就在于：它的收入效应的作用很大，以至于超过了替代效应的作用，从而使得总效应与价格呈同方向的变动。这也就是吉芬物品的需求曲线呈现出向右上方倾斜的特殊形状的原因。

第 3 章 生产和成本论

一、名词解释

1．边际产量

边际产量是指在生产技术水平和其他投入要素不变的情况下，每增加一单位可变投入要素所得到的总产量的增加量。

例如，在生产中如果只有劳动 L 是可变投入，则劳动的边际产量可以表示为：

$$MP=\frac{\Delta Q}{\Delta L}$$

假设生产函数连续且可导，从而可以用总产量对可变投入量求导得出边际产量，即 $MP=\frac{dQ}{dL}$ 。 这样，在某一产量上的边际产量，就是该产量相对于总产量曲线上一点的斜率。

2．边际收益递减规律

在技术水平不变的条件下，在连续等量地把某一种可变生产要素增加到其他一种或几种数量不变的生产要素上去的过程中，当这种可变生产要素的投入量小于某一特定值时，增加该要素投入所带来的边际产量是递增的；当这种可变要素的投入量连续增加并超过这个特定值时，增加该要素投入所带来的边际产量是递减的。这就是边际收益递减规律。

3．等产量曲线

等产量曲线是在技术水平不变的条件下，生产同一产量的两种生产要素投入量的各种不同组合的轨迹。 以 $Q$ 表示既定的产量水平，则与等产量曲线相对应的生产函数为： $$Q=f(L,K)$$ 等产量曲线表示生产一定单位的产品，可以有很多劳动和资本数量组合。等产量曲线具有以下重要特点：

• ①等产量曲线是一条从左上方向右下方倾斜的曲线，具有负斜率。它表示增加一种生产要素的投入量，可以减少另一种生产要素的投入量。只有负斜率的等产量曲线，才表示劳动和资本互相代替是有效率的。
• ②坐标图上可以有无数条等产量曲线。它们按产量大小顺序排列，越接近原点的等产量曲线所代表的产量越少，越远离原点的等产量曲线所代表的产量越多。
• ③任何两条等产量曲线不能相交。
• ④等产量曲线向原点凸出。它表示随着一种生产要素每增加一个单位，可以代替的另一种生产要素的数量将逐次减少。这一点可由边际技术替代率递减规律来解释。

4．边际技术替代率

在维持产量水平不变的条件下，增加一单位某种生产要素投入量时所减少的另一种要素的投入数量，被称为边际技术替代率，其英文缩写为 $MRTS$ 。用 $\Delta K$ 和 $\Delta L$ 分别表示资本投入量的变化量和劳动投入量的变化量，则劳动对资本的边际技术替代率的公式为：

$$MRT{S}_{LK}=-\frac{\Delta K}{\Delta L}$$

或

$$MRT{S}_{LK}=-\frac{dK}{dL}$$

5．边际技术替代率递减规律

边际技术替代率递减规律是指，在维持产量不变的前提下，当一种生产要素的投入量不断增加时，每一单位的这种生产要素所能替代的另一种生产要素的数量是递减的。 边际技术替代率递减的主要原因在于：任何一种产品的生产技术都要求各要素投入之间有适当的比例，这意味着要素之间的替代是有限的。

以劳动和资本两种要素投入为例，在劳动投入量很少而资本投入量很多的情况下，减少一些资本投入量可以很容易地通过增加劳动投入量来弥补，以维持原有的产量水平，即劳动对资本的替代是很容易的。但是，在劳动投入增加到相当多的数量和资本投入量减少到相当少的数量的情况下，再用劳动去替代资本就将是很困难的了。

6．等成本方程

厂商的等成本方程是指在要素价格一定的条件下，表示厂商花费相同成本可以使用的所有不同的要素组合的代数式。

如以 $r_L$ 和 $r_K$ 分别表示劳动和资本的价格，以 $c$ 表示厂商的成本，厂商的等成本方程可以表示为：

$$C=r_{L}L+r_{K}K$$ 厂商面对的要素价格和所花费的成本总量变动都会使得等成本方程旋转或者平移。

7．生产要素最优组合

生产要素最优组合是指在生产技术和要素价格不变的条件下，生产者在成本既定时实现产量最大或在产量既定时实现成本最小目标时所使用的各种生产要素的数量组合。

为此，厂商将在既定的等成本方程和等产量线上寻求最高的产量组合点。无论是既定成本下的产量最大还是既定产量下的成本最小，利润最大化的厂商都将把生产要素的数量选择在每单位成本购买的要素所能生产的边际产量相等之点。

8．规模经济与规模不经济

规模经济和规模不经济用来说明厂商产量变动从而规模变动与成本之间的关系。 对于一个生产厂商而言，如果产量扩大一倍，生产成本的增加低于一倍，则生产存在着规模经济；如果产量增加一倍，而成本增加大于一倍，则生产存在着规模不经济。

9．规模收益递增、不变和递减

作为规模经济与规模不经济的一种特殊的情况，如果产量的增加是借助于生产要素的同比例扩大实现的， 那么相应的可定义规模收益的概念：

• ①如果产量增加的比例大于生产要素增加的比例，则称生产是规模收益递增的；
• ②若产量增加的比例等于生产要素增加的比例则称生产是规模收益不变的；
• ③若产量增加的比例小于生产要素增加的比例，则称生产是规模收益递减的。

10．平均成本

平均成本是指厂商平均每生产一单位产品所消耗的成本。 用公式表示为： $AC=\frac{TC}{y}$ 。

• 在短期．厂商的平均成本呈现 $U$ 形。
• 在长期．规模经济的状况将决定厂商的长期平均成本曲线的形状。

11．边际成本

边际成本是指产量变动某一数量所引起的成本变动的数量，也即厂商在短期内增加一单位产量时所增加的总成本。 用公式表示为：

$$MC(Q)=\frac{\Delta TC(Q)}{\Delta Q}=\frac{TC(Q+\Delta Q)-TC(Q)}{\Delta Q}$$

或

$$MC(Q)=\underset{\Delta Q\to 0}{\lim }\frac{\Delta TC(Q)}{\Delta Q}=\frac{\mathrm{d}TC}{\mathrm{d}Q}$$

• 在短期内，由于边际产量递减规律的作用，厂商的边际成本呈现 U 形。
• 在长期内，规模经济的状况将决定厂商的长期边际成本形状。

12．长期平均成本曲线

长期平均成本曲线（ $LAC$ ）是用于描述长期平均成本与产量关系的一条曲线。 长期平均成本是长期内厂商平均每单位产量花费的总成本。 长期平均成本曲线是基于长期总成本曲线而得到的。 在生产由规模经济到规模不经济阶段，长期总成本曲线呈 U 形。 从图形关系来看，长期平均成本曲线又是所有短期平均成本曲线的包络线，如图 3-1 所示。这是因为对应于每一产量，厂商在长期内把生产要素调整到最优组合点，从而在这一产量下实现的平均成本为最小。

二、简述题

1．单一和多种生产要素的合理投入区是如何确定的？其间平均产量、边际产量各有什么特点？

生产要素的合理投入区是指追求利润最大化的生产者所选择的生产要素投入数量的范围。

大值点和边际产量等于 0 的点之间，如图 3-2 所示。

短期生产的三个阶段是根据总产量曲线、平均产量曲线和边际产量曲线之间的关系来划分的。如图 3-2 所示：

• 第Ⅰ阶段，平均产量递增阶段，即劳动平均产量始终是上升的，且达到最大值。这一阶段是从原点到 $A{P}_L$ 、$M{P}_L$ 两曲线的交点，即劳动投入量由 0 到 $L_3$ 的区间。

• 第Ⅱ阶段，平均产量的递减阶段，边际产量仍然大于 0，所以总产量仍然是递增的，直到总产量达到最高点。这一阶段是从 $A{P}_L$ 、 $M{P}_L$ 两曲线的交点到 $M{P}_L$ 曲线与横轴的交点，即劳动投入量由 $L_3$ 到 $L_4$ 的区间。

• 第Ⅲ阶段，边际产量为负，总产量也是递减的，这一阶段是 $M{P}_L$ 曲线和横轴的交点以后的阶段，即劳动投入量 $L_4$ 以后的区间。

• 首先，厂商肯定不会在第Ⅲ阶段进行生产，因为这个阶段的边际产量为负值，生产不会带来任何的好处。

• 其次，厂商也不会在第Ⅰ阶段进行生产，因为平均产量在增加，投入的这种生产要素还没有发挥最大的作用，厂商没有获得预期的好处，继续扩大可变投入的使用量从而使产量扩大是有利可图的，至少使平均产量达到最高点时为止。因此，厂商通常会在第Ⅱ阶段进行生产。

• （2）在长期内，所有要素的投入数量都是可变的。

假定有两种投入要素 $K$ 和 $L$ 都是可变的，那么，两种可变投入要素的合理投入区域是等产量曲线斜率为负的区域。 如图 3-3 中 $OE$ 和 $OF$ 之间包含的区域。 以一条等产量曲线为例，要素 $K$ 的投入量超过 $OE$ 和要素 $L$ 的投入量超过 $OF$ ，那么在保持产量不变的前提下可以通过同时减少 $L$ 和 $K$ 的投入量来实现。因此理性的厂商会把投入组合限定在要素 $L$ 和 $K$ 的边际替代率为负的区域。

2．为什么边际技术替代率会是递减的？

• （1）边际技术替代率递减规律是指: 在维持产量不变的情况下，当一种生产要素的投入量不断增加时，每一单位的这种生产要素所能替代的另一种生产要素的数量是递减的。

• （2）边际技术替代率递减的主要原因在于： 任何一种产品的生产技术都要求各要素投入之间有适当的比例，这意味着各要素之间的替代是有限度的，故随着一种要素投入的不断增加，它所能替代的另一种要素会不断减少。 例如，对于劳动投入和资本投入而言，由于受到生产技术的限制，劳动投入和资本投入之间有适当的比例，在劳动投入量很少和资本投入量很多的情况下，减少一些资本投入量可以很容易地通过增加劳动来弥补，以维持原有的产量水平，即劳动对资本的替代是很容易的。但是，在劳动投入增加到相当多的数量和资本投入量减少到相当少的数量的情况下，再用劳动去替代资本就将是很困难的了。

3．生产要素最优组合是如何确定的，它与厂商的利润最大化有何关系？

（1）生产要素最优组合是指既定成本下产量最大化或者既定产量下成本最小化的生产要素投入组合。 在多种生产要素投入变动（比如两种）的情况下，厂商的生产技术可以由等产量曲线加以表示。而厂商的成本方程的切点。在成本既定的条件下，生产要素投入量需要满足的条件为：

$$\{\begin{array}{l}MRT{S}_{L,K}=\frac{r_L}{r_K}\\ r_{L}L+r_{K}K=c\end{array}$$

或者：

$$\{\begin{array}{l}\frac{M{P}_L}{r_L}=\frac{M{P}_K}{r_K}\\ r_{L}L+r_{K}K=c\end{array}$$

在产量既定的条件下，生产要素投入量需要满足的条件为：

$$\{\begin{array}{l}MRT{S}_{L,K}=\frac{r_L}{r_K}\\ f(L,K)=y\end{array}$$

或者：

$$\{\begin{array}{l}\frac{M{P}_L}{r_L}=\frac{M{P}_K}{r_K}\\ f(L,K)=y\end{array}$$

以上论述说明，无论是既定成本下的产量最大还是既定产量下的成本最小，寻求生产要素最优组合的厂商都将把生产要素的数量选择在每单位成本购买的要素所能生产的边际产量相等之点。

• （2）生产要素最优组合也是厂商利润最大化的选择。 下面以成本既定的情形为例。如果每单位成本获得的边际产量不相等，比如

$$\frac{M{P}_L}{r_L}>\frac{M{P}_K}{r_K}$$

，这时把用 $K$ 的一单位成本用于购买 $L$ 将会在保持成本不变的条件下增加总产量，从而增加利润。因此，追求技术上的最优恰好与厂商的利润最大化相一致。

4．试说明短期总产量曲线与短期总成本曲线之间的关系。

短期总产量曲线和短期总成本曲线之间存在下述对应关系：

• ①短期总产量曲线边际报酬递增阶段对应的是短期总成本曲线边际成本递减阶段；
• ②短期总产量曲线边际报酬递减阶段对应的是短期总成本曲线边际成本递增阶段；
• ③短期总产量曲线边际报酬极大值点相对应的是短期总成本曲线边际成本的极小值点。下面对两者的对应关系进行详细说明：

假定该短期生产函数为：

$Q=f(L,K)$ ①

短期总成本函数为：

$TC(Q)=TVC(Q)+TFC$ ②

$TVC(Q)$ : 短期可变成本 $TFC$ : 不可变成本

短期总可变成本函数为：

$TVC(Q)=W\cdot L(Q)$ ③

$W$ 或者 $r_L$ ：劳动价格

并假定生产要素价格既定。

由②式可得：

$Mc=\frac{dTC}{dQ}=\frac{dTVC}{dQ}+\frac{dTFC}{dQ}$ ④

因为 $TFC$ 为一常数，有 $\frac{dTFC}{dQ}=0$

所以，④式可写作：

$$MC=\frac{dTC}{dQ}=W\cdot \frac{dL}{dQ}$$ 边际产量: $M{P}_L=\frac{dQ}{dL}$

所以

$MC=W\cdot \frac{1}{M{P}_L}或MC=\frac{r_L}{M{P}_L}$⑤

由此可知：

$MC$ 与 $M{P}_L$ 呈反向对应关系，由于边际报酬递减规律的作用，可变投入要素的边际产量 $M{P}_L$ 先上升后下降，成反 U 形，所以，边际成本 $MC$ 和总成本之间也存在着凸对应关系，当总产量曲线为凹的，总成本曲线是凸的，当总产量曲线为凸的，总成本曲线是凹的。当总产量曲线存在一个拐点时，总成本曲线相应也有一个拐点。

三、计算与证明

1．已知企业的生产函数为了： $y=5L-L^2$ ，其中 L 为雇佣工人的数量。求企业劳动投入的合理区域。

由题意可知，厂商唯一可变的生产要素为劳动 L ，因此厂商应选择在生产的第二阶段进行生产。由于生产函数为

$$y=5L-L^2$$

，则有：

• 平均产量为： $A{P}_L=y/L=5-L$
• 边际产量为： $M{P}_L=\frac{dy}{dL}=5-2L$

当平均产量与边际产量相交时，决定最低的劳动投入量，即有 $M{P}_L=A{P}_L$ ，代入得：

$$5-L=5-2L$$ 解得： $L=0$

当 $M{P}_L=0$ 时， $A{P}_L$ 达到最大值，生产进入第三阶段，决定了劳动投入量的最大值。即： $5-2L=0$ 解得： $L=2.5$ 。

所以，企业劳动投入的合理区域为 $L\in [0,2.5]$ 。

2．厂商的生产函数为 $y=A{L}^{\alpha }{K}^{\beta }$

，生产要素 $L$ 和 $K$ 的价格分别为 $r_L$ 和 $r_K$ 。

• （1）求厂商的生产要素最优组合。
• （2）如果资本的数量 $K=l$ ，求厂商的短期成本函数。
• （3）求厂商的长期成本函数。

解：

• （1）由于厂商的生产函数为 $y=A{L}^{\alpha }{K}^{\beta }$ ,有:

$$M{P}_L=\alpha A{L}^{\alpha -1}{K}^{\beta }$$

$$M{P}_K=\beta A{L}^{\alpha }{K}^{\beta -1}$$

当有

$$MRT{S}_{L,K}=\frac{M{P}_L}{M{P}_K}=\frac{r_L}{r_K}$$

时，厂商生产要素组合达到最优。即：

$$\frac{\alpha A{L}^{\alpha -1}{K}^{\beta }}{\beta A{L}^{\alpha }{K}^{\beta -1}}=\frac{r_L}{r_K}$$

整理得： $\beta r_{L}L=\alpha r_{K}K$ 。即厂商的生产要素最优组合为： $\frac{K}{L}=\frac{\beta r_L}{\alpha r_K}$ 。

• （2）在短期内 当 $K=1$ 时, $y=A{L}^{\alpha }$ ，所以， $L=(y/A{)}^{\frac{1}{a}}$
  代入厂商的成本函数表达式： $c=rLL+r_{K}K$ 可得短期成本函数为： $c=r_L(y/A{)}^{\frac{1}{a}}+r_K$ 此即为厂商短期成本函数。

• （3）长期中 $L$ 和 $K$ 均可变，厂商的长期成本函数由下列条件所决定：

$$\{\begin{array}{l}y=f(L,K)\\ \frac{M{P}_L}{r_L}=\frac{M{P}_K}{r_K}\\ c=r_{L}L+r_{K}K\end{array}$$

带入化简:

$$\{\begin{array}{l}y=A{L}^{\alpha }{K}^{\beta }\\ c=r_{L}L+r_{K}K\\ \beta r_{L}L=\alpha r_{K}K\end{array}$$

推导过程:

$$L=\frac{\alpha r_{K}K}{\beta r_L}$$

$$r_{L}L=\frac{\alpha r_{K}K}{\beta }$$

$$y=A{\frac{\alpha r_{K}K}{\beta r_L}}^{\alpha }{K}^{\beta }$$ $$\frac{y}{A}={\frac{\alpha r_{K}K}{\beta r_L}}^{\alpha }{K}^{\beta }$$

$$\frac{y}{A}={\frac{\alpha r_{K}K}{\beta r_L}}^{\alpha }{K}^{\beta }$$

$$\frac{y}{A}={\frac{\alpha r_K}{\beta r_L}}^{\alpha }{K}^{\alpha +\beta }$$

$$K={\frac{y}{A}}^{\frac{1}{\alpha +\beta }}\cdot {\frac{\beta r_L}{\alpha r_K}}^{\frac{\alpha }{\alpha +\beta }}$$

$$c=\frac{\alpha r_{K}K}{\beta }+r_{K}K$$

$$c=(\frac{\alpha r_K}{\beta }\cdot {\frac{\beta r_L}{\alpha r_K}}^{\frac{\alpha }{\alpha +\beta }}+r_K(\frac{\beta r_L}{\alpha r_K}{)}^{\frac{\alpha }{\alpha +\beta }})(\frac{y}{A}{)}^{\frac{1}{\alpha +\beta }}$$

$$c=(\frac{\alpha r_K}{\beta }\cdot \frac{\beta r_L}{\alpha r_K}\cdot {\frac{\beta r_L}{\alpha r_K}}^{\frac{-\beta }{\alpha +\beta }}+r_K(\frac{\beta r_L}{\alpha r_K}{)}^{\frac{\alpha }{\alpha +\beta }})(\frac{y}{A}{)}^{\frac{1}{\alpha +\beta }}$$

$$c=(r_L\cdot (\frac{\alpha r_K}{\beta r_L}{)}^{\frac{\beta }{\alpha +\beta }}+r_K(\frac{\beta r_L}{\alpha r_K}{)}^{\frac{\alpha }{\alpha +\beta }})(\frac{y}{A}{)}^{\frac{1}{\alpha +\beta }}$$

解得：

$$c=\left[r_L{\left(\frac{\alpha r_K}{\beta r_L}\right)}^{\frac{\beta }{\alpha +\beta }}+r_K{\left(\frac{\beta r_L}{\alpha r_K}\right)}^{\frac{\alpha }{\alpha +\beta }}\right]{\left(\frac{y}{A}\right)}^{\frac{1}{\alpha +\beta }}$$

，此即为厂商的长期成本函数。

3．证明：追求利润最大化的厂商必然会在生产扩展曲线上选择投入组合。

证明：

假设厂商仅用劳动 $L$ 和资本 $K$ 两种要素，那么 总产出:

$$Q=f(L,K)$$ 边际产量:

$$M{P}_L=\frac{dQ}{dL}$$

$$M{P}_K=\frac{dQ}{dK}$$

总成本: $$TC=r_{L}L+r_{K}K$$

厂商的利润: $$\pi =TR-TC=PQ-TC$$ 为了追求利润最大化，归结为:

1. 既定成本下产量最大化
2. 既定产量下成本最小化

将其对生产要素 $L$ 和 $K$ 分别求一阶导数并令其为零以寻求利润最大化的条件，

$$P\cdot M{P}_L-r_L=0$$

$$P=\frac{r_L}{M{P}_L}$$

$$P\cdot M{P}_K-r_K=0$$ $$P=\frac{r_K}{M{P}_K}$$

$$\frac{r_L}{M{P}_L}=\frac{r_K}{M{P}_K}$$

可得 $\frac{M{P}_L}{M{P}_K}=\frac{r_L}{r_K}$ ，此即厂商追求利润最大化的投入组合。

又因生产扩展线为一系列等成本线与等产量线的切点的连线，等产量线上任意一点切线的斜率为边际技术替代率 $RT{S}_{L,K}=\frac{M{P}_L}{M{P}_K}$ ，而等成本线为 $c=r_{L}L+r_{K}K$ ，其斜率为 $\frac{r_L}{r_K}$ ，因此可得生产扩展线的方程为 $\frac{M{P}_L}{M{P}_K}=\frac{r_L}{r_K}$ ，与厂商追求利润最大化的投入组合相同。故追求利润最大化的厂商必然会在生产扩展曲线上选择投入组合。

第 4 章 市场理论

一、名词解释

1．总收益、平均收益和边际收益

（1）厂商的总收益（ $TR$ ）是指厂商按照一定价格出售一定量产品所获得的全部收入，即： $$TR=p(y)\cdot y$$

式中的 $TR$ 为总收益， $p(y)$ 为既定的市场价格， $y$ 为销售总量。

（2）平均收益（ $AR$ ）指厂商在平均每一单位产品销售上所获得的收入，即：

$$AR=TR/y=p(y)$$

平均收益等于产品价格，厂商所面临的需求曲线即为平均收益曲线。

（3）边际收益（ $MR$ ）指厂商增加一单位产品销售时所获得的收入增量，即：

$$MR=\frac{\Delta TR}{\Delta y}$$

当厂商面临着既定价格时，其边际收益等于价格；而当厂商面临着一条向右下方倾斜的需求曲线时，其边际收益低于价格。

2．厂商利润最大化原则

厂商利润最大化原则是厂商做生产决策时所遵循的一般原则，它要求每增加一单位产品（或要素）所增加的收益等于由此带来的成本增加量，即边际收益等于边际成本： $MR=MC$ 。 这也是厂商实现最大利润的均衡条件：在其他条件不变的情况下，厂商应该选择最优的产量，使得最后一单位产品所带来的边际收益等于所付出的边际成本。

3．完全竞争市场

完全竞争市场是指一种竞争不受任何阻碍和干扰的市场结构。 完全竞争市场的假设条件是：

• ①市场上，厂商生产同质的产品。
• ②市场上有众多的消费者和厂商，因而消费者和厂商都是市场价格的接受者。
• ③市场上的消费者和厂商拥有完全信息。
• ④厂商可以无成本地自由进入或退出市场。

事实上，这种理想的完全竞争市场很难在现实中存在。但是，完全竞争市场的资源利用最优、经济效率最高，可以作为经济政策的理想目标，所以，西方经济学家总是把完全竞争市场的分析当作市场理论的主要内容，并把它作为一个理想情况，以便和现实比较。

4．外在经济和外在不经济

外在影响: 某一经济主体的经济行为对社会上其他人的福利造成影响，但并不为此承担后果。 外在经济: 某一经济个体的一项经济活动给社会其他成员带来好处，但并未获得相应的补偿，即个人获得的利益小于该活动中所带来的全部利益，也就是该经济个体的经济活动带来了正的外在影响； 外在不经济: 某一经济个体的一项经济活动给社会其他成员带来成本，但并不需要自身去承担相应的全部成本，即个人所承受的成本小于该活动所带来的全部成本，也就是个人的经济活动带来了负的外在影响。

完全竞争市场中，随着厂商数目的增加，整个行业中的产量也会增加，如果行业中单个厂商的成本降低，则称该行业存在着外在经济； 如果厂商数量增加从而整个行业的产量增加使得单个厂商的成本增加，则称该行业存在着外在不经济。

5．价格歧视

价格歧视是指垄断厂商在同一时期内，以不同的价格销售同一种商品。垄断厂商实行价格歧视的基本条件：

• ①市场的消费者具有不同偏好，且这些不同的偏好可以被区分开；
• ②不同的消费者群体或不同销售市场是相互隔离的。

价格歧视被划分为三类：

• 一级价格歧视是指垄断厂商对每一单位产品都按消费者愿意支付的最高价格出售，这种类型的价格歧视也被称为完全的价格歧视。
• 二级价格歧视是指对不同的消费数量段规定不同的价格；
• 三级价格歧视是垄断厂商在不同市场（或对不同的消费群）上收取不同的价格。

6．垄断竞争市场

垄断竞争市场是指一种由许多厂商生产和销售有差别的同种产品的市场，市场中既有垄断又有竞争，既不是完全竞争又不是完全垄断。

垄断竞争市场通常具有以下特征：

• 第一，行业中有大量的卖者和买者；
• 第二，厂商提供有差异但彼此接近的替代品；
• 第三，厂商进入或退出是自由的。

7．寡头垄断市场

寡头垄断市场指那种在某一产业只存在少数几个卖者的市场组织形式。 典型的寡头市场具有以下一些特点：

• 第一，市场上存在少数厂商，单个厂商的产销量占整个市场相当大的份额，从而对市场价格具有明显的影响力；
• 第二，少数寡头之间的行为相互依存；
• 第三，寡头市场上的价格相对稳定，竞争大多是非价格形式；
• 第四，市场上存在进入障碍。

8．古诺模型

古诺模型是一个只有两个寡头厂商的简单模型，即双头模型。古诺模型是早期的寡头模型，它通常被作为寡头理论分析的出发点。 假设两个面临同一市场的竞争厂商．它们生产无差异的产品．成本为 0。最终，两（ n ）个厂商各选择 $\frac{1}{n+1}$ 的产量，当 n=2 即 $\frac{1}{3}$ 的产量，我 而且它们没有进一步变动产量的动力，从而市场处于均衡。

9．纳什均衡

纳什均衡指的是如果其他参与者不改变策略，任何一个参与者都不会改变自己的策略。也就是说，当其他参与者的策略给定的时候，自己的最优策略就是纳什均衡策略。

二、简述题

1．为什么说厂商均衡的一般原则是 $MR=MC$

经济学中通常认为理性厂商行为的目的是为了获取最大化的利润。为了获得最大化的利润，厂商在进行决策时都试图使得边际收益等于边际成本，即增加一单位决策量，厂商增加的收益大于增加的成本。经济学中通常称这一原则为利润最大化原则。利润最大化原则适用于所有以利润为目标的经济单位对所有决策变动进行的选择。下面以厂商的产量选择来说明这一点。

对于厂商而言，它提供产量一方面会带来收益，另一方面也会产生成本。 在既定产量的条件下增加产量:

• 如果厂商由此增加的收益大于生产这一单位产品所消耗的成本，即 $MR>MC$ ，那么生产该单位产品就有剩余，从而使得利润总额有所增加。因此，利润最大化厂商就会把它生产出来，即在这种条件下，厂商会增加产量，直到二者相等为止。
• 相反，如果多生产一单位产品所增加的收益小于生产这一单位产品所消耗的成本，即 $MR<MC$ ，就这一单位而言，厂商是亏损的，因而为了增加利润，厂商会减少该单位的生产。因此，在 $MR<MC$ 时，厂商会减少生产，直到 $MR=MC$ 。
• 在 $MR=MC$ 时，厂商获得最大化的利润。此时，厂商即不增加生产，也不减少生产。

因此， $MR=MC$ 是厂商均衡的一般原则，当 $MR=MC$ 时，厂商实现了利润最大化，从而没有动力去调整产量。

2．简要分析完全竞争厂商的短期（或长期）均衡。

• （1）完全竞争厂商的短期均衡

在完全竞争市场上，由于每个厂商都是价格接受者，因而厂商的边际收益等于平均收益，都等于市场价格，即 $MR=AR=p$ 。按边际收益等于边际成本进行生产的利润最大化厂商选择最优产量的条件是 $MR=MC=p$ 。

对应于上述条件，完全竞争厂商可以处于获得超额利润、获得正常利润和亏损状态的均衡。当市场价格低于平均可变成本最低点时，厂商生产要比不生产损失更大，这是厂商的停止营业点。

对应于高于平均可变成本最低点的市场价格，厂商会在边际成本曲线上确定相应的供给量。因此，平均可变成本之上的边际成本曲线是厂商的短期供给曲线。并且由于边际产量递减规律的作用，厂商的边际成本曲线递增，因而厂商的供给曲线是向右上方倾斜的。

• （2）完全竞争厂商的长期均衡

在长期中，厂商将不断调整固定投入的数量，使得在每个产量下，生产规模都是最优的。因此，长期成本曲线将是厂商决策的依据。与短期中的行为一样，追求利润最大化的厂商选择最优产量的必要条件是边际收益等于长期边际成本。同时，由于长期内厂商没有固定成本与不变成本之分，因而当价格高于平均成本时，厂商才提供供给；否则，厂商退出该行业。

假定厂商的进入和退出不影响单个厂商的成本，则行业中厂商的进入或退出只影响到市场供给，从而影响到市场价格。

如果完全竞争行业中的厂商获得超额利润，那么势必会引起其他行业中厂商的进人。结果将使得市场价格降低到厂商的平均成本最低点为止。因此，在这种情况下，单个厂商的长期均衡条件是 $P=LMC=LAC$ ，所有厂商都不能获得超额利润。

3．完全竞争市场的长期行业供给曲线是如何得到的？

完全竞争市场的长期行业供给曲线是以行业中单个厂商的长期供给曲线为基础的。

在长期中，完全竞争厂商将不断调整固定投入的数量，使得在每个产量下，生产规模都是最优的。以长期成本为决策基础，厂商在价格高于平均成本时，按价格等于边际成本来提供产量。同时，行业在长期中存在着其他厂商的进入或退出，这将导致单个厂商的长期均衡处于价格等于长期平均成本最低点。

其他厂商进入或者退出不仅影响到市场供给从而影响到市场价格，而且也对行业中厂商的成本产生影响。根据这一影响，完全竞争行业被划分为成本不变、递增和递减三种情况。

• （1）成本不变行业：单个厂商的成本不随厂商的进入或退出而改变。最终结果只是厂商数目的增减而已。因此，成本不变行业的长期供给曲线是一条由厂商的长期平均成本曲线最低点决定的水平曲线。

• （2）成本递增行业：假定最初厂商和行业均处于长期均衡状态。此时若出现行业的市场需求增加，结果将会导致市场价格提高，使得每个厂商都获得超额利润。超额利润驱使其他厂商进入。行业的外在不经济使得单个厂商的成本增加，因而当行业再次处于均衡状态时，厂商的平均成本最低点升高。这样，由厂商的长期平均成本最低点决定的行业长期供给曲线向右上方倾斜。

• （3）成本递减行业：假设最初一个行业处于均衡状态，由于市场需求增加导致行业中的市场价格上升，从而行业中的厂商获得超额利润。这将引起其他厂商的进入。随着厂商的进入，一方面价格趋向于降低，另一方面外在经济也使得行业中厂商的长期平均成本曲线向下移动。市场价格再次与厂商的平均成本最低点相交，行业恢复到均衡状态。这时市场的均衡状态对应着更低的市场价格。结果该行业的长期供给曲线是一条向右下方倾斜的曲线。

4．评述垄断竞争理论。

• （1）垄断竞争市场及其特点

垄断竞争市场是指那些有许多厂商生产有一定差别的产品的市场结构。在这类市场中，既有垄断的因素，又有竞争的成分，因而单个厂商所面临的需求曲线向右下方倾斜，并且由于厂商的进入和退出，使得每个厂商的需求曲线时常发生变动，并具有较大的价格弹性。

垄断竞争市场是介于垄断和完全竞争市场之间而又比较接近于完全竞争的一种市场结构。其形成条件主要有四点：

• ①大量的厂商生产有差异的替代品；

• ②每个厂商的市场份额很小，其行为不会引起其他厂商的报复；

• ③厂商进入或退出生产较为容易；

• ④行业中存在着模仿。

• （2）垄断竞争市场上的厂商行为

在垄断竞争市场上，由于产品差异，厂商可以在一定程度上控制自己产品的价格，采取策略性行为。在认为其他厂商不改变价格的判断下，厂商预期通过降低价格增加更多的收益，这条曲线构成了厂商的主观需求曲线。但是，如果行业的所有厂商都依照各自的主观需求曲线行事，那么垄断竞争厂商所面临的实际需求曲线尽管也向右下方倾斜，但价格弹性小于相应的主观需求曲线。垄断竞争厂商依照主观需求曲线所决定的边际收益与其边际成本的交点确定生产量，但必须按实际需求曲线所对应的价格取得收益，从而得到实际的边际收益。如果主观的边际收益不等于实际的边际收益，那么，厂商将调整生产量直到二者相等为止。这样，垄断竞争厂商按主观需求曲线行事的结果是按实际需求曲线得到收益。

• （3）垄断竞争市场的短期和长期均衡

在短期内，垄断竞争厂商根据主观需求曲线所对应的边际收益等于边际成本的原则决定产量，在这一产量对应的实际价格与主观价格相等时，厂商处于短期均衡。在短期内，处于均衡的厂商可以获得超额利润、正常利润或亏损，但处于亏损时，所获得的收益必须能抵补厂商生产所支付的可变成本。在长期内，由于厂商的进入和相互模仿，短期内可以处于垄断地位的厂商渐渐失去了垄断地位，即它所面临的市场需求减少。当厂商根据主观需求所对应的边际收益与边际成本相等决定的产量所对应的平均收益等于平均成本时，行业中厂商的进入或退出停止，厂商处于长期均衡。即厂商处于长期均衡的条件为：长期（主观）边际收益等于边际成本，长期平均收益等于长期成本。在长期均衡时，垄断竞争厂商只获得正常利润。

由于垄断竞争厂商的需求曲线向右下方倾斜，所以在长期均衡时，垄断竞争市场上的价格高于完全竞争市场，而产量也低于完全竞争市场。并且，垄断竞争厂商为了强化产品的差异而进行的广告宣传，也未必不是一种资源的浪费。这表明垄断竞争市场缺乏效率的方面。但是，由于完全竞争市场在现实中很少见，而且也由于垄断竞争市场的竞争推进技术进步和产品的多样性，所以垄断竞争市场常被认为是一种较有效的市场结构。

• （4）垄断竞争理论的局限性

垄断竞争市场理论是以产品差异和自由竞争为主要条件的，在理论分析中很少涉及生产的集中所形成的垄断厂商的均衡。因而也就不能分析作为资本主义现代经济一种表现的垄断现象的深刻基础和对社会经济生活所产生的影响。此外，该理论把以产品差异为特征的垄断与生产集中所导致的垄断混为一谈，使得垄断竞争分析并不具有一般性。从垄断竞争理论本身来看，这一理论体系仍然建立在较严格的假设之上。不过也应该看到，对于垄断竞争对竞争所起到的积极作用以及垄断的消极作用的分析是有意义的。

5．折弯的需求曲线模型是如何对寡头市场上的价格较少变动作出解释的？

折弯的需求曲线模型又称为斯威齐模型，是用于寡头市场行为分析的一个理论模型。这一模型假定，对应于一个特定的价格，当一个寡头厂商提高价格时，其他厂商将不会跟随，但若它降低价格，其他厂商也会如此。结果，单个厂商面临的需求曲线具有一个折弯点。

对应于一条折弯的需求曲线，寡头厂商得到自身的边际收益。通过此边际收益，厂商根据边际收益等于边际成本的原则决定最优产量，并在需求曲线上索要价格。与通常厂商不同的是，折弯的需求曲线对应的边际收益曲线在折弯点处不连续，如图 4-1 所示。但是，我们注意到，当边际成本恰好与边际收益在边际收益的断点处相等时，只要边际成本的变化不超过一定幅度，就不会影响厂商的均衡产量和价格。这样，该模型对寡头市场的价格稳定性给予了充分的说明。

折弯的需求曲线模型的缺陷是没有说明最初的价格是如何决定的。

6．为什么说古诺模型的均衡是一个纳什均衡？

• （1）在双寡头垄断市场中，各厂商根据自己的产量反应曲线制定产量，均衡产量水平在两条反应曲线的交点处得到，称这组产量水平为古诺均衡。

• （2）古诺均衡属于纳什均衡，处于纳什均衡中的每个厂商的行为是给定它的竞争对手行为时它能做得最好的行为，所以没有哪个厂商会有改变自身行为的冲动。同样，处于古诺均衡中的每个厂商的产量是给定竞争对手的产量时实现其最大利润的产量，所以没有哪个厂商会有改变自身产量的冲动，因此古诺均衡是稳定。

三、计算与证明

已知垄断厂商面临的需求曲线是 Q=50-3p。

• （1）求厂商的边际收益函数。
• （2）若厂商的边际成本等于 4，求厂商利润最大化的产量和价格。

解：

• （1）据题意，垄断厂商的需求函数为：

$$P=\frac{50}{3}-\frac{Q}{3}$$

，所以，厂商的总收益函数为：

$$TR=PQ=\frac{50Q}{3}-\frac{Q^2}{3}$$

则其边际收益函数为： $$MR=\frac{dTR}{dQ}=\frac{50}{3}-\frac{2Q}{3}$$

。

-（2）由题可知，厂商的边际成本 $MC=4$ 。

根据厂商利润最大化的一般原则，有： $MR=MC$ ，即：

$$\frac{50}{3}-\frac{2Q}{3}=4$$

解得： $Q=19$ 。

将 $Q=19$ 代入反需求函数 $P=\frac{50}{3}-\frac{Q}{3}$ ，得： $P=\frac{50}{3}-frac193=10.3$ 。

即，厂商利润最大化的产量为 $Q=19$ ，价格为 $P=10.3$ 。

已知垄断厂商的需求函数为 Q=50 - P。

• （1） 求厂商的边际收益函数
• （2）求厂商的边际成本等于20时，求厂商利润最大化的产量和价格。
• (3) 说明垄断的价格歧视

答:

1. 已知垄断厂商的需求函数为 $Q=50-P$ ,则 $P=50-Q$ 。厂商总收益 $TR=P\cdot Q=50Q-Q^2$ 则厂商边际收益函数为 $MR=50-2Q$ 。
2. 根据厂商的边际成本 $MC=20$ ,垄断厂商利润最大化的条件是 $MR=MC$ ,得 $50-2Q=20$ ,即 $Q=15,P=50-Q=35$ 。
3. 厂商对相同的商品制定不同销售价格的现象被称为价格歧视。 价格歧视可以分为三种:
   • 第一阶段歧视，垄断厂商按照不同的购买量索要不同的价格，以至于每单位商品索要的价格恰好等于此时的需求价格。
   • 第二阶段歧视，垄断厂商按不同购买量分组，并对不同的组别索要不同的价格，如数量折扣。
   • 第三阶段歧视，垄断厂商根据不同类型的消费者索要不同的价格。

第 5 章 生产要素市场

一、名词解释

1．引致需求

引致需求又称“派生需求”，指由于消费者对产品的需求而引起的企业对生产要素的需求。引致需求来自厂商，是厂商对生产要素的需求，不同于消费者对商品的需求。

在产品市场上，需求来自消费者，而消费者购买产品是为了自己的消费，从中获得满足，一次购买过程到此结束。与此不同，在生产要素市场上，需求来自企业，而企业购买生产要素是为了生产，从中获得利润。企业购买生产要素并不是一次经济行为的终结。一个企业能否获得利润并不取决于其自身，而是取决于消费者对其所生产的产品的需求，取决于消费者是否愿意为其产品支付足够的价格。如果不存在消费者对产品的需求，那么厂商就无法从生产和销售中获得收益，从而也不会去购买生产资料和生产产品。或者说，消费者对产品的直接需求，引致和派生了厂商对生产要素的需求。某一种生产要素的需求曲线的形态，是从使用这种生产要素的最终产品的需求曲线派生出来的。

2．边际产品价值

边际产品价值指增加一单位生产要素所增加的产量的价值，它等于边际产量与产品价格的乘积，即： $VMP=P\cdot M{P}_L$ 。在完全竞争市场上，要素的边际产品价值反映了要素的边际收益，它是厂商对要素的需求曲线。

由于边际产量服从递减规律，因而完全竞争厂商对要素的需求曲线向右下方倾斜。

3．边际收益产品

边际收益产品是指在其他生产要素的投入量固定不变时追加一单位的某种生产要素投入所带来的收益。它等于边际产品（ $MP$ ）与边际收益（ $MR$ ）的乘积，即：

$$MRP=MR\cdot MP$$

在产品卖方垄断市场，由于厂商出售既定产量可以索要的价格与厂商的产量有关，通常呈相反方向变动，因而，一种要素的边际产量为厂商增加的收益不等于原有的价格与边际产量之积，而是边际产量与边际收益之积。

4．平均要素成本

平均要素成本是厂商购买每单位生产要素平均支付的成本。

在完全竞争市场上，平均要素成本由于生产要素的价格既定，因而厂商的平均要素成本就等于该要素的市场价格。在生产要素市场买方垄断的条件下，平均要素成本曲线就是厂商面对的要素供给曲线。厂商使用要素的边际成本高于要素价格。这是因为这时厂商面对的是一条向右上方倾斜的要素供给曲线。因而，厂商使用要素的数量影响到要素的价格。这时，平均要素成本曲线随着要素使用量的增加而增加。

5．边际要素成本

边际要素成本是指厂商增加一单位生产要素投入量所带来的成本增加量。记为 $MFC$ 。

厂商利润最大化原则: $$MRP=MFC$$

在完全竞争市场上，由于生产要素价格不变，因而增加一单位要素的成本就等于该要素的价格。在要素的买方垄断市场上，厂商使用要素的边际要素成本高于要素的价格。

6．向后弯曲的劳动供给曲线

根据劳动者的最优化行为，对应于一个特定的工资率，劳动者在效用最大化点上确定最优劳动供给量，从而得到劳动的供给曲线。在工资水平较低时，工资率上升对劳动所产生的替代效应大于收入效应，因而人们愿意提供更多的劳动，减少闲暇；而当工资水平上升到一定程度以后，替代效应小于收入效应，因而人们增加闲暇时间，而减少劳动时间。因此，劳动的供给曲线向（左）后方弯曲。

二、简述题

1．简要说明完全竞争厂商对生产要素的需求曲线是如何得到的。

• （1）与产品市场一样，完全竞争要素市场上有众多的厂商和众多的要素供给者，它们都按照既定的要素价格来选择最优的要素使用量和供给量。在产品市场上，厂商也是完全竞争者，即产品的市场价格是厂商决策的依据。就厂商而言，厂商选择要素使用量的原则是利润最大化，即要素的“边际收益”和“边际成本”必须相等。

• （2）在完全竞争市场上，厂商使用要素的“边际收益”为该要素的边际产品价值，即边际产量与价格的乘积。这是因为，增加一单位要素可以增加的产量等于该要素的边际产量，而这些产量以不变的产品价格出售，所以，增加该要素一个单位给厂商带来的收益就等于产品价格乘以边际产量，即：$VMP=P\times MP$ 。

  从要素的“边际成本”考察，由于厂商面对的要素价格由市场供求所决定，不随厂商使用要素数量的多少而改变，因此增加一单位的要素所增加的成本等于该要素的价格。由此可知厂商的使用要素利润最大化原则表现为：

  $$VMP=P\times MP=r$$ 。其中， $r$ 为要素的价格。

• （3）对应于由市场所决定的要素价格 $r$ ，厂商选择利润最大化的要素使用量，因此要素的边际产品价值构成了厂商对该要素的需求曲线。由于要素的边际产量 $MP$ 服从递减规律，而产品在完全竞争市场上的产品价格保持不变，因而要素的边际产品价值 $VMP$ 也随着要素使用量的增加而递减，即完全竞争厂商对要素的需求曲线向右下方倾斜，如图 5-1 所示。

2．为什么劳动供给曲线向后弯曲？试用收入效应和替代效应加以说明。

• （1）劳动力供给曲线向后弯曲是指随着劳动价格即工资率的提高，最初劳动的供给量逐渐增加，但当劳动价格上升到一定程度之后，劳动供给量反而减少的情况。假设每一个劳动力的供给只取决于工资，则向后弯曲

的劳动供给曲线可用图 5-2 表示。

• （2）劳动供给曲线向后弯曲可以从以下三方面来分析：

• ①劳动的供给曲线向后弯曲，是劳动工资率产生的替代效应和收入效应综合影响的结果。劳动者在不同的工资率下愿意供给的劳动数量取决于劳动者对工资收入和闲暇所带来效用的评价。消费者的总效用由收入和闲暇提供。收入通过消费品的购买为消费者带来满足：收入越多，消费水平越高，效用满足越大。同样，闲暇也是一种特殊的消费，闲暇时间越长，效用水平越高。然而，可供劳动者支配的时间是既定的，所以劳动者的劳动供给行为可以表述为：在既定的时间约束条件下，合理地安排劳动和闲暇时间，以实现最大的效用满足。

• ②一般而论，工资率越高，对牺牲闲暇的补偿也就越大，劳动者宁愿放弃闲暇而提供劳动的数量也就越多。换言之，工资率提高，闲暇的机会成本相应也就越大，劳动者的闲暇时间也就越短。因此，工资率的上升所产生的替代效应使得劳动数量增加。同时，工资率的提高，使得劳动者收入水平提高。这时，劳动者就需要更多的闲暇时间。也就是说，当工资率提高以后，劳动者不必提供更多的劳动就可提高生活水平。这说明，工资率提高的收入效应使得劳动数量减少。

• ③替代效应和收入效应是工资率上升的影响的两个方面，如果替代效应大于收入效应，则闲暇需求量随其价格上升而下降；反之，如果收入效应大于替代效应，则闲暇需求量随其价格的上升而上升。这就意味着劳动供给曲线向后弯曲。如果原来的工资即闲暇价格较低，则此时的劳动供给量较小，工资上涨的收入效应不能抵消替代效应；但如果工资率已经处于较高水平，此时劳动供给量也相对较大，则工资上涨引起的整个劳动收入增量就很大，从而收入效应超过替代效应。这就是说，当工资的提高使人们富足到一定的程度以后，人们会更加珍视闲暇。因此，当工资达到一定高度而又继续提高时，人们的劳动供给量不但不会增加，反而会减少。因此，当工资率提高到一定程度之后，劳动供给曲线开始向后弯曲。

3．试说明欧拉定理在要素收入分配理论中的含义。

• （1）欧拉定理又称为产量分配净尽定理，是对应于齐次函数的一个数学定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。

假设有两种生产要素劳动 $L$ 和资本 $K$ ，生产函数为 $Q=Q(L,K)$ ，若生产规模不变，则有： $$Q=L\cdot \frac{\partial Q}{\partial L}+K\cdot \frac{\partial Q}{\partial K}$$

这就是欧拉定理，它表明在所给条件下，全部产品 $Q$ 恰好足够分配给劳动要素 $L$ 和资本要素 $K$ 。其中 $\frac{\partial Q}{\partial K}$ 为资本的边际产品即 $M{P}_K$ ， $\frac{\partial Q}{\partial L}$ 为劳动的边际产品即 $M{P}_L$ 。

（2）欧拉定理说明了如果生产函数是规模收益不变的，即一次齐次的，那么每种生产要素按照边际产品获

得收入恰好等于它们的总产量。因而欧拉定理也可以表示为：

$$Q=K\cdot M{P}_K+L\cdot M{P}_L$$

这一结论对于边际分配论具有很强的解释意义。在完全竞争市场上，当所有的要素市场处于均衡状态的时候，厂商对要素的均衡使用量所对应的边际产品价值恰好等于此时的要素价格。根据欧拉定理，当厂商的生产规模收益不变的时候，要素按照这个价格取得的收入恰好等于所有的产量的价值。因此，按照要素的边际产品进行分配是合理的。

4．以劳动市场为例，说明产品卖方垄断而要素市场买方垄断的条件下的生产要素价格决定。

• （1）生产要素的价格是由生产要素的供给和需求所决定的。劳动市场由劳动的供给和劳动的需求两方面构成。劳动的供给来源于劳动者，而劳动的需求来源生产者。劳动这种要素的价格是由劳动市场的供给和需求所决定的一个市场均衡价格，但是它受到市场条件的限制。

• （2）在生产要素市场上，厂商决定使用劳动等生产要素数量的一般原则是边际收益产品等于边际要素成本。

为了利润最大化，厂商每使用一单位数量的劳动所花费的成本必须等于该单位劳动所带来的收益：如果前者大于后者，厂商会减少该单位生产要素的使用；如果前者小于后者，厂商则增加使用。依照定义，厂商使用最后一单位劳动所花费的成本就是该单位要素的边际要素成本，而因使用该单位劳动所生产的产品卖出后获得的收益就是劳动的边际收益。它等于要素的边际产品的边际价值，即边际产品乘边际收益。

在要素市场买方垄断的条件下，厂商雇佣劳动力的原则仍然是劳动的边际收益产品等于边际要素成本。劳动市场上的买方垄断意味着市场上只有一家厂商购买劳动这一生产要素。所以，该厂商面临的劳动的供给曲线是市场的供给曲线，向右上方倾斜，厂商使用劳动的边际要素成本不再是不变的量，它因劳动的平均要素成本增加而以更快的速度增加，即劳动的边际要素成本高于劳动的供给。

• （3）在产品市场卖方垄断条件下，厂商卖出使用劳动生产出的产品时所面临的市场需求曲线是向下倾斜。这就使得产品的边际收益小于市场价格，从而使得劳动的边际收益产品低于边际产品价值。

• （4）厂商根据该边际要素成本等于边际产品价值决定劳动的使用量，把劳动的价格确定在比边际要素成本更低的劳动供给曲线上。由于买方垄断条件下厂商决定劳动价格，因此，在这一市场结构下没有明显的劳动需求曲线，厂商根据要素的边际产品价值与边际要素成本相等的条件决定要素使用量，同时在要素供给曲线上支付这一使用量下可能的最低价格。如图 5-4 所示，在完全竞争下，劳动的均衡价格为 re ；但是在产品卖方垄断而要素市场买方垄断的条件下，劳动的价格为 $r3$ 。

由以上分析可以看出，与完全竞争厂商相比，由于买方垄断厂商使用要素的边际要素成本高于要素的供给曲线，而要素的边际产品价值相等，因而其要素使用量更少，支付的价格更低。

三、计算与证明

在生产要素市场上，厂商的利润最大化原则是什么？证明你的结论。

• （1）厂商使用生产要素的原则是它所使用的生产要素能够给它带来最大化的利润，而利润最大化要求任何经济活动的“边际收益”和“边际成本”必须相等。具体说来，就是使用要素的边际收益要等于使用要素的边际成本，即 $MRP=MFC$ 。

例如在劳动要素市场上，厂商应把雇佣的劳动投入量调整到一定数量，使得这一雇佣劳动总量下的最后一个单位劳动带来的总收益的增加量（边际收益产品 MRP ），恰好等于增加这最后一个单位劳动雇佣量引起的总成本

的增加量（边际要素成本 MFC ）。

• （2）假定除了劳动这一要素之外，其他生产要素都不会发生变动。这样厂商的利润可以表示为： $\pi =TR-TC$ 。所以厂商利润最大化的条件为：

$$\frac{d\pi }{dL}=\frac{dTR}{dL}-\frac{dTC}{dL}$$

• ①从厂商使用要素的“边际收益”方面来考察，当厂商增加一种生产要素劳动的投入数量时，一方面，带来产品的增加，另一方面增加产量又带来收益增加量。结果，增加一单位要素投入所增加的总收益为：

$$\frac{dTR}{dL}=\frac{dTR}{dQ}\times \frac{dQ}{dL}=MR\times MPP=MRP$$

，即要素（劳动）的边际收益产品 $MRP$ 。

②从使用要素的边际成本方面考察，如果其他投入数量保持不变，则厂商的总成本取决于变动投入的数量。

经济学中增加一单位要素的边际成本被定义为边际要素成本，表示为： $\frac{dTC}{dL}=MFC$

③于是，厂商使用要素的利润最大化原则表示为： $MRP-MFC=0$ ，即 $MRP=MFC$ 。当 $MRP>MFC$ 时，这表示每增加一个单位的劳动投入带来的总收益的增加量超过雇佣这个劳动单位引起的总成本增加量，也就意味着继续增加劳动投入量可使总利润有所增加；反之，当 $MRP<MFC$ 时，这意味着最后增加雇佣的那个单位劳动反而造成损失，从而导致总利润较前减少。所以，如果厂商把投入要素如雇佣的劳动量作为选择变量，实现利润极大化的条件便是它雇佣的劳动量满足 $MRP=MFC$ 。即：要素市场上利润最大化的一般原则是要素的边际收益产品等于边际要素成本。特别地，如果厂商是产品市场上的完全竞争者，则产品的边际收益等于产品的价格，从而要素的边际收益产品等于边际产品价值；如果厂商是要素市场的完全竞争者，则要素的边际成本就等于该要素的价格。

第 6 章 一般均衡论和福利经济学

一、名词解释

1．局部均衡和一般均衡

• （1）局部均衡是指在假设其他市场不变的情况下，某一特定产品或要素的市场均衡。局部均衡分析研究的是单个（产品或要素）市场，其研究方法是把所考虑的某个市场从相互联系的整个经济体系的市场全体中“取出”来单独加以研究。

局部均衡是经济体系中单独一个消费者、一个商品市场或要素市场、一家厂商或一个行业的均衡状态。局部均衡分析即只考虑这个局部本身所包含的各因素的相互影响，相互作用，最终如何达到均衡状态。如在研究某产品市场的均衡时，就可假设其他各产品的供给、需求及价格不变，而只考虑该产品的价格和销售量如何由它本身的供给和需求两种相反力量的作用以达到均衡。

• （2）一般均衡是指在一个经济体系中，所有市场的供给和需求同时达到均衡的状态。一般均衡分析从微观经济主体行为的角度出发，考察每一种产品和每一个要素的供给和需求同时达到均衡状态所需具备的条件和相应的均衡价格以及均衡供销量应有的量值。

根据一般均衡分析，某种商品的价格不仅取决于它本身的供给和需求状况，而且还受到其他商品的价格和供求状况的影响。因此，某种商品的价格和供求均衡，只有在所有商品的价格和供求都同时达到均衡时，才能实现。

2．瓦尔拉斯定律

瓦尔拉斯定律也称为瓦尔拉斯法则，是由经济学家瓦尔拉斯在其完全竞争市场的一般均衡理论体系中提出一个恒等关系式。 其基本内容是：在完全竞争的市场体系中，在任何价格水平下，整个经济社会中所有成员用于购买商品和劳务的支出一定等于出售商品和劳务所得到的收入，市场上对所有商品超额需求的总和为零。

$$\sum _{i=1}^{k+r}{p}_i\cdot x_i=\sum _{i=1}^{k+r}{p}_i\cdot y_i$$

这一恒等式对一般均衡的意义在，它表明无论经济是否处于一般均衡，总有一种商品的价格可以由其他商品的价格表示出来，即当所有其他市场处于均衡状态时，另一个市场一定处于均衡。因而，一般均衡分析不可能得到所有市场的价格。但是，如果规定一种商品为一般等价物，那该商品的价格就是 1，从而一般均衡才可能有确定的解。由此可见，该定律成立，意味着一般均衡分析只能得到相对价格。

由瓦尔拉斯定律可以推出，经济体系中存在几个商品市场，若其中 $n-1$ 个商品市场处于均衡状态，那么，第 $n$ 个商品市场也必然是均衡的。瓦尔拉斯定律不仅表明在交换体系中任何价格水平消费者对所有商品的超额需求总和为零，同样可以证明，瓦尔拉斯定律不仅适用于纯经济交换体系，而且适用于生产与交换经济体系，也适用于货币经济体系。

3．帕累托最优状态

帕累托最优状态又称作经济效率，是指没有人可以在不使得他人境况变坏的条件下使得自身境况得到改善，此时的状态被称为帕累托最优状态。当经济系统的资源配置达到帕累托最优状态时，称此时的经济运行是有效率的。反之，不满足帕累托最优状态经济运行结果就是缺乏效率的。

4．交换符合帕累托最优的条件

交换符合帕累托最优条件是指在交换方面，任何一对商品之间的边际替代率对任何使用这两种商品的个人来说都相等，即 $RC{S}_{12}^A=RC{S}_{12}^B$ ，此时该社会达到了产品分配的帕累托最优状态，从而实现了交换的效率。在表示纯交换的埃奇沃斯框图中，当两个消费者的无差异曲线相切时，交换符合帕累托最优。

5．生产符合帕累托最优的条件

生产符合帕累托最优的条件指对于有多个个人、多种商品、多种生产要素的经济，达到均衡时要求在生产方面，任何一对生产要素之间的边际技术替代率在用这两种投入要素生产的所有商品的生产中都相等，即 $RT{S}_{LK}^1=RT{S}_{LK}^2$ ，此时该社会达到了帕累托最优状态，从而实现了生产的效率。当然，此时也就实现了生产的一般均衡。在表示生产的埃奇沃斯框图中，当两种产品生产的等产量曲线相切时，生产符合帕累托最优。

6．交换与生产同时符合帕累托最优的条件

交换与生产同时符合帕累托最优的条件是指所有产品中任意两种产品的边际替代率等于这两种产品在生产中的边际转换率，即 $RC{S}_{12}^A=RC{S}_{12}^B$ 。如果所有的市场（产品市场和生产要素市场）均是完全竞争的，则市场机制的最终作用将会使生产资源达到最优配置。在帕累托最优这种理想的状态下，有限的生产资源得到最有效率的配置，产量最高，产品的分配也使社会成员的总体福利最大。

如果经济中某种物品既可以用于生产也可以用于消费，那么经济达到帕累托最优状态的条件是，任意两种产的无差异曲线相切。

7．产品转换率

边际转换率是指增加另一种商品产出的数量必须减少某种商品产出数量的比例。 如果设产出 $X$ 的变动量为 $\Delta X$ ，产出 $Y$ 的变动量为 $\Delta Y$ ，则它们的比率的绝对值 $\left|\Delta Y/\Delta X\right|$ 可以衡量 1 单位 X 商品转换为Y 商品的比率。

该比率的极限则定义为 X 商品对Y 商品的边际转换率 $MRT$ ，亦即：

$$MRT=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left|\frac{\Delta Y}{\Delta X}\right|=\left|\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}\right|$$

边际转换率反映了产品转换的机会成本。在生产可能性曲线上，边际产品转换率表现为生产可能性曲线的斜率的绝对值。

二、简述题

1．简要说明瓦尔拉斯一般均衡论的基本思想。

• （1）一般均衡分析是将所有相互联系的各个市场看成一个整体来加以研究而进行的分析，它的基本思想是把单个市场的均衡条件推广到多个市场。一般均衡理论首要解决的问题是：是否存在一系列价格使所有市场同时处于均衡，即所谓的一般均衡的存在性问题。

• （2）法国经济学家瓦尔拉斯在 1874 年建立了被后人称为瓦尔拉斯一般均衡论的分析框架。该分析框架假定整个经济中有 $k$ 种产品和 $r$ 种生产要素。这样，整个经济中就有 k 种产品市场和 r 种生产要素市场。

• ①从产品市场均衡进行考察，产品的需求来源于消费者。 对特定商品而言，消费者的需求取决于该商品本身的价格、其他商品价格以及消费者的收入等。但消费者的收入又来源于生产要素的价格。这样，一种商品的市场需求取决于所有产品及要素的价格，即： $$x_i=xi(p_1,\cdots ,p_k,p_{k+1},\cdots ,p_{k+r}),(i=1,\cdots ,k)$$

  产品的供给来源于厂商。厂商的供给同样取决于该商品的价格、其他商品的价格和成本。而厂商的成本又决

  定于要素价格。这样，一种产品的市场供给也取决于各种价格，即：

  $$y_i=yi(p_1,\cdots ,p_k,p_{k+1},\cdots ,p_{k+r}),(i=1,\cdots ,k)$$

  当市场需求等于市场供给时，一种产品的市场处于均衡，即： $$x_i=y_j,(i=1,\cdots ,k)$$

• ②从要素市场均衡进行考察。要素的需求是厂商的引致需求，它不仅取决于各种要素的价格，也与其他产品价格有关，即： $$x_j=x_j(p_1,\cdots ,p_k;p_{k+1},\cdots ,p_{k+r}),j=k+1,\cdots ,k+r$$

  要素的供给来源于消费者，并且是效用最大化的一个推广： $$y_j=y_j(p_1,\cdots ,p_k;p_{k+1},\cdots ,p_{k+r}),j=k+1,\cdots ,k+r$$ 当市场需求等于市场供给时，要素市场处于均衡，即： $$x_j=y_j,j=k+1,\cdots ,k+r$$

• ③如果存在着 $p1,\cdots ,p_k$ 和 $p_{k+1},\cdots ,p_{k+r}$ 使得上述 $k+r$ 个市场的均衡条件成立，就意味着一般均衡存在。这一问题归结为 $k+r$ 个方程是否能得到 $k+r$ 个价格的问题。当初，瓦尔拉斯认为，这取决于这 $k+r$ 个方程是否独立。但就整个经济系统而言，无论价格有多高，所有的收入之和一定等于所有的支出之和： $$\sum _{i=1}^{k+r}{p}_i{x}_i=\sum _{i=1}^{k+r}{p}_i{y}_i$$

这一恒等式即被称为瓦尔拉斯定律。由于瓦尔拉斯定律成立，不可能存在 $k+r$ 个相互独立的均衡价格。但取某种商品为“一般等价物”，则问题得到解决。据此，瓦尔拉斯一般均衡理论断言，基于局部均衡分析的一般均衡价格存在。

2．利用埃奇沃斯框图说明纯交换经济的一般均衡。

（1）埃奇沃斯框图是以英国经济学家埃奇沃斯的名字命名的研究资源最优配置的一种盒子形状的图形。 该框图揭示了当所有消费的总量或经济活动中使用的投入品总量固定时，如何配置资源。假定经济中仅有消费者1 和 2，以及商品 1 和 2，则其埃奇沃斯框图如图 6-1 所示。

（2）纯交换经济是指只有交换而没有生产的经济。假定在纯交换经济中两个消费者交换两种商品，第 i 个

消费者最初拥有的第 j 种商品的数量为 $w_{ij}$ ，而选择的消费者数量为 $x_{ij}$ 。

对于整个经济而言，社会拥有的两种商品的数量分别为：

$$w_1=w_{11}+w_{21}$$

和 $$w_2=w_{12}+w_{22}$$

假定两种商品的价格为 $p_1$ 和 $p_2$ 。效用最大化的消费者在既定的价格水平下决定最优的消费量。需要注意， 此时消费者的收入来源于其初始财富拥有量。第一个消费者的行为可以概括为：

$$\{\begin{array}{ll}\max & u_1\left(x_{11},x_{12}\right)\\ x_{11},x_{12}& \\ \text{ s. t. }& p_1{x}_{11}+p_2{x}_{12}=p_1{\omega }_{11}+p_2{\omega }_{12}\end{array}$$

该消费者消费不同商品的组合得到的效用满足可以由一系列凸向原点（左下角）的无差异曲线表示出来。其收入约束线 $p_1{x}_{11}+p_2{x}_{12}=p_1{w}_{11}+p_2{w}_{12}$ 是斜率为 $(-p_1/p_2)$ 并经过初始点 $(w_{11},w_{12})$ 的直线。在既定的价格下，消费者在这一预算约束线上选择效用最大化的商品组合，即预算约束线与无差异曲线的切点对应的消费组合 $(\overline{x_{11}},\overline{x_{12}})$ ,此时该消费者处于局部均衡状态。对于第二个消费者也有类似的局部均衡。

显然在埃奇沃斯框图中，第二个消费者的预算约束线与第一个消费者的重合。这样，当 $(\overline{x_{11}}-w_{11})+(\overline{x_{21}}-w_{21})=0$ 时，第一种商品的市场处于均衡。此时，两个消费者选择的最优点重合。第二种商品也同样。但在图中不难发现，只要第一种商品的市场处于均衡，第二种商品也一定处于均衡。由此决定的价格（实际上是相对价格）即为一般均衡价格。

3．什么是帕累托最优配置？其主要条件是什么？

• （1）如果对于某种既定的资源配置状态，所有的帕累托改进均不存在，即在该状态上，任意改变都不可能使至少有一个人的状况变好而又不使其他任何人的状况变坏，则称这种资源配置状态为帕累托最优状态。

• （2）达到帕累托最优状态所必须满足的条件被称为帕累托最优条件，它包括交换的最优条件、生产的最优条件以及交换和生产的最优条件。

①交换的帕累托最优条件：在交换方面，任何一对商品之间的边际替代率对任何使用这两种商品的个人来说都相等，即 $RC{S}_{XY}^A=RC{S}_{XY}^B$ 。

②生产的帕累托最优条件：在生产方面，任何一对生产要素之间的边际技术替代率在用这两种投入要素生产的所有商品中都相等，即 $RT{S}_{LK}^X=RT{S}_{LK}^Y$ 。

③交换和生产的帕累托最优条件：任何一对商品之间的生产的边际转换率等于消费这两种商品的每个人的边际替代率，即 $RC{S}_{XY}=RP{T}_{XY}$ 。

4．为什么说完全竞争市场可以处于帕累托最优状态？

• （1）帕累托最优状态是用于判断市场机制运行效率的一般标准。 帕累托最优状态是指，在既定资源配置状态下，任意改变都不可能使至少有一个人的状况变好而又不使其他任何人的状况变坏，即不存在帕累托改进，则称这种资源配置状态为帕累托最优状态。 一个经济实现帕累托最优状态，必须满足三个必要条件：

  • ①任何两种商品的边际替代率对于所有使用这两种商品的消费者来说都必须是相等的；
  • ②任何两种生产要素的边际技术替代率对于任何使用这两种生产要素的生产者来说都必须是相等的；
  • ③任何两种商品对于消费者的边际替代率必须等于这两种商品对于生产者的边际转换率。

• （2）完全竞争市场之所以总可以实现帕累托最优状态，可以从满足帕累托最优状态的三个必要条件分别加以说明。

• ①从交换的最优条件来看，在完全竞争市场条件下，单个消费者都是价格的接受者，每个消费者都会调整对商品的需求以满足 $RS{C}_{XY}=\frac{P_X}{P_Y}$ 从而实现效用最大化。既然各消费者都是价格的接受者，那么各消费者购买任意两种商品的数量必使其边际替代率等于全体消费者所面对的共同的价格比率。因此，任何两种商品的边际替代率对所有的消费者都相等。

• ②从生产的最优条件来看，在完全竞争市场条件下，单个生产者都是要素价格的接受者，每个生产者都会调整要素的需求以满足 $RT{S}_{LK}=\frac{P_L}{P_K}$ 从而实现利润最大化。既然各生产者都是要素价格的接受者，那么各生产者购买并使用的任意两种要素的数量必使其边际技术替代率等于全体生产者所面对的共同的要素价格比。因此，任何两种要素的边际技术替代率对所有生产者都相等。

• ③从生产和交换的最优条件来看，任何两种产品生产的边际转换率即为两种商品的边际成本之比，每一消费者对任何两种商品的边际替代率等于其价格比。在完全竞争条件下，任何产品的价格等于边际成本，因此，任何两种产品的边际替代率等于它们的边际转换率。

• （3）综上所述，在完全竞争条件下，帕累托最优的三个必要条件都可以得到满足。换而言之，在完全竞争的市场机制作用下，整个经济可以达到帕累托最优状态，这样的经济必定是最优效率的经济。

5．西方微观经济学是如何论证“看不见的手”原理的？

答：从亚当·斯密开始，经济学家就认为在完全竞争的市场经济中，市场机制像一只“看不见的手”，时刻调整着人们的经济行为，从而使整个经济社会的资源配置达到帕累托最优状态。

• （1）产品市场

• ①对消费者而言，其行为目标是追求最大效用。消费者在追求最大效用的过程中，由于“看不见的手”的作用，最终将用有限的收入在商品中进行选择而获得最大效用，从而得到一条向右下方倾斜的需求曲线，曲线上的点都是消费者最大效用的均衡点。

• ②对生产者而言，其行为目标是利润最大化。生产者追求最大利润的过程中，必然导致他们能以最优的生产要素组合，从而以最低的成本生产，最终得到一条向右上方倾斜的供给曲线。供给曲线上的每一点都是市场上最大利润的均衡点。

• ③需求曲线和供给曲线的共同作用决定了产品市场的均衡价格和均衡数量。这时，消费者最大地满足了自己的欲望，厂商获得了最大的利润。

• （2）要素市场

• ①对厂商而言，为了追求最大利润，厂商以边际产品价值等于边际要素成本的原则来使用生产要素。根据这个原则，可以得到一条向右下方倾斜的要素需求曲线。

• ②对要素供给者，即消费者而言，为了追求效用最大化，在一定的要素价格水平下，要素供给者必然要使“要素供给”资源的边际效用等于“保留自用”资源的边际效用，根据这个原则，可以得到一条向右上方倾斜的要素供给曲线。

• ③要素供给曲线和需求曲线的交点决定了最优的要素价格和最优的要素使用量。

• （3）一般均衡理论

前面对产品市场和要素市场的分析，都是以单个的市场为基础，市场均衡状态是局部均衡。此时，一种产品或者生产要素的价格只受到自身的需求条件和供给条件的影响，其他商品和要素的价格被视为不变。在一般均衡理论中，所有商品或者生产要素的价格是相互影响的。依据一定的假定条件，完全竞争市场存在一般均衡，此时，所有的产品和生产要素市场同时达到均衡状态。

• （4）福利经济学

前面的论述只是说明了“看不见的手”的作用导致整个经济处于均衡状态，那么，这种均衡状态是否具有经济效率呢？福利经济理论提出了判断福利水平的帕累托标准。同时，完全竞争市场的一般均衡是帕累托最优的，所有人都没有了在不影响他人的条件下福利改进的可能。所以，在完全竞争的资本主义市场经济中，人们在追求自己的私人目的的时候，会在一只“看不见的手”的指导下，实现增进社会福利的社会目的。

三、计算与证明

纯交换经济符合帕累托最优状态的条件是什么？证明你的结论。

• （1）纯交换经济是指只有交换而没有生产的经济。 纯交换经济符合帕累托最优状态的条件是：任何一对商品之间的边际替代率对任何使用这两种商品的个人来说都相等，即：

$$RC{S}_{XY}^A=RC{S}_{XY}^B$$

• （2）如果上述条件得不到满足（即 $MRC{S}_{XY}^A\ne MRC{S}_{XY}^B$ ），那么在两种商品的总量既定的条件下，两个消费者还可以通过交换在不影响他人的条件下，至少使得一个人的情况得到改善。 假定 $RC{S}_{XY}^A=2$ ，而 $RC{S}_{XY}^B=1$ 。 这表明，在第一个消费者看来，1 单位 X 可以替换 2 单位Y ；而在第二个消费者看来，1 单位 X 可以替换 1 单位Y 。这时如果第二个消费者放弃一单位 X ，他需要一单位Y ，即可以与原有的效用水平相等。把一单位 X 给予 A，这时 A 愿意拿出 2 单位Y 。这样，把其中一单位补偿给 B，则在 A 和B 保持原有效用水平不变的条件下，还有 1 单位Y 可供 A 和 B 分配。因此，存在一个帕累托改进的余地。这说明，只有两个消费者对任意两种商品的边际替代率都相等，才会实现帕累托最优状态，从而不存在帕累托改进的余地。

第 7 章 市场失灵和微观经济政策

一、名词解释

1．市场失灵

市场失灵是指市场机制不能有效地配置资源。 垄断、外部影响、公共物品以及不完全信息都是导致市场失灵的重要原因和主要表现。 西方经济学者认为，在现实社会中，种种原因将导致市场失灵，即市场机制的运转无法使社会资源达到最优配置，无法实现社会经济福利的最大化等社会目标。因此，市场机制的作用并不是万能的，必须通过政府对经济的干预来加以克服。

2．公共物品

通常把不具备排他性或（和）竞争性，一旦生产出来就不可能把某些人排除在外的商品称为（纯）公共物品。商品的排他性是指商品的生产者或者购买者可以很容易地把他人排斥在获得该商品带来的利益之外；商品的竞争性是指消费商品的数量与生产这一数量的成本有关。

3．免费乘车者问题

免费乘车者问题是指经济中由于存在不支付即可获得消费满足而产生的市场失灵问题。产生的原因是商品的非排他性。既然每个消费者都是经济上理性的，而公共物品又具有非排他性，那么每个消费者都将利用这一点，在不支付费用的条件下享受商品的效用。由于商品的非排他性，拥有或消费这种商品的人不能或很难把他人排除在获得该商品带来满足的范围之外。这一特征及其相应的问题被形象地称为搭便车。

4．外在性

外在性又称外部经济影响，是指一个经济行为主体的经济活动对另一个经济主体的福利所产生的效应，但这种效应并没有通过市场交易反映出来。外在性有正负之分，或称为外在经济和外在不经济。

5．科斯定理

科斯定理是一种产权理论。 科斯本人并未将科斯定理写成文字，科斯定理的提出是由其好友斯蒂格勒首先根据科斯于 20 世纪 60 年代发表的《社会成本问题》这篇论文的内容概括出来的。 其内容是：只要财产权是明确的，并且其交易成本为零或者很小，则无论在开始时将财产权赋予谁，市场均衡的最终结果都是有效率的。

这一结论包含三个要素：

• ①交易费用为零；
• ②产权界定清晰；
• ③自由交易。

由此引申出来的第二定理是： 在交易费用不为零的条件下，不同的产权制度会影响到资源配置的效率。科斯定理现已成为制度经济学的一个重要结论。

6．逆向选择

逆向选择指在次品市场上出现的高质量产品遭淘汰而低质量产品生存下来的现象。 处于信息劣势的一方，往往按平均水平推测产品的质量，从而导致高质量产品的交易价格偏低，交易数量较少，甚至可能导致只有次品才能成交的逆向选择。

7．道德风险

道德风险是指交易双方在签订交易合约后，信息占优势的一方为了最大化自己的收益而损坏另一方，同时也不承担后果的一种行为，即是市场的一方不能查知另一方的行动一种情形，又被称作隐藏行动问题。道德风险的存在不仅使得处于信息劣势的一方受到损失，而且会破坏原有的市场均衡，导致资源配置的低效率。

二、论述题

1．市场为什么会出现失灵？政府应该采取哪些措施？

市场失灵是指市场机制不能有效地配置资源。垄断、外部影响、公共物品以及不完全信息都是导致市场失灵的重要原因和主要表现。

• （1）垄断及其矫正措施

实际上，只要市场不是完全竞争的（垄断、垄断竞争或寡头垄断），当价格大于边际成本时，就出现了低效率的资源配置状态。垄断的产生使得资源无法得到最优配置，从而导致市场失灵。由于垄断会导致资源配置缺乏效率，因此也就产生了对垄断进行公共管制的必要性。政府对垄断进行公共管制的方式或政策主要包括以下几种：

• ①控制市场结构，避免垄断的市场结构产生；
• ②对垄断企业的产品价格进行管制；
• ③对垄断企业进行税收调节；
• ④制定反垄断法或反托拉斯法；
• ⑤对自然垄断企业实行国有化。

-（2）外部影响及其矫正措施

外部影响是指一个经济活动的主体对他所处的经济环境的影响。 外部影响会造成私人成本和社会成本之间，或私人收益和社会收益之间的不一致，因此容易造成市场失灵。外部影响的存在造成了一个严重后果：市场对资源的配置缺乏效率。换句话说，即使假定整个经济仍然是完全竞争的，由于存在着外部影响，整个经济的资源配置也不可能达到帕累托最优状态。就外部影响所造成的资源配置不当，微观经济学理论提出以下政策建议：

• ①使用税收和津贴；

• ②使用企业合并的方法；

• ③使用规定财产权的办法。

• （3）公共物品及其矫正措施

对于公共物品而言，市场机制作用不大或难以发挥作用。 因为公共物品由于失去竞用性和排他性，增加消费并不会导致成本的增加，消费者对其支付的价格往往是不完全的，甚至根本无需付费。在此情况下，市场机制对公共物品的调节作用就是有限的，甚至是无效的。

由于公共物品的消费存在免费搭便车的问题，很难通过竞争的市场机制解决公共物品的有效生产问题。在此情况下，由政府来生产公共物品应是一种较好的选择。对于大多数有特殊意义的公共物品，由政府或政府通过组建国有企业来生产或向市场提供，是一种不错的选择，例如国防、公安等。

政府应提供多少公共物品才能较好地满足社会需要，使资源得到有效利用是问题的难点所在。现在更多的推荐采用非市场化的决策方式，例如投票，来表决公共物品的支出水平。显然，虽然用投票的方法决定公共物品的支出方案是调节公共物品生产的较好方法，但投票方式并不总能获得有效率的公共物品的支出水平。

• （4）不完全信息及其矫正措施

信息不完全是指经济当事人对信息不能全面地把握，不能完全利用交易有关的信息。 在现实生活中，供求双方的信息通常具有不对称性或不完全性。一旦供求双方所掌握的信息不完全，就会对市场机制配置资源的有效性产生负面影响，造成市场失灵。由信息不完全导致的后果通常包括逆向选择、道德风险和委托—代理问题。 信息的不对称性和信息的不完全性会给经济运行带来很多问题，而市场机制又很难有效地解决这些问题，在此情况下，就需要政府在市场信息方面进行调控。政府解决信息不对称和委托—代理问题的方法主要有：

• ①针对由于信息不对称产生的逆向选择问题，可以通过有效的制度安排或采取适当的措施来消除信息不充分所造成的影响；
• ②解决委托—代理问题最有效的办法是实施一种最优合约，即委托人花费最低限度的成本而使得代理人采取有效率的行动实现委托人目标的合约。

2．结合垄断厂商的均衡，论垄断的效率及其政府对策。

（1）垄断是只有一个厂商提供全部市场供给的一种市场结构。 垄断厂商的目标仍是利润最大化，故也会把产量选择在边际收益等于边际成本之点。

如图 7-1 所示，横轴表示厂商产量，纵轴表示价格，曲线 $D$ 和 $MR$ 分别表示厂商的需求曲线和边际收益曲线。 假定平均成本和边际成本相等且固定不变，由直线 $AC=MC$ 表示。为了使利润极大，厂商产量定在$Q_2$ ，价格为 $P_2$ ，它高于边际成本，说明没有达到帕累托最优，因为这时消费者愿意为增加额外一单位所支付的数量（价格）超过生产该单位产量所引起的成本（边际成本）。显然，要达到帕累托最优，产量应增加到 $Q_1$ ，价格应降到 $P_1$ ，这时 $P=MC$ 。然而，垄断决定的产量和价格只能是 $Q_2$ 和 $P_2$ 。如果产量和价格是完全竞争条件下的产量 $Q_1$ 和价格 $P_1$ ，消费者剩余是 $\Delta F{P}_{1}H$ 的面积，而当垄断者把价格提高到 $P_2$ 时，消费者剩余只有 $\Delta F{P}_{2}G$ 的面积，所减少的消费者剩余的一部分（图 $P_1{P}_{2}GI$ 所代表的面积）转化为垄断者的利润，另一部分（ $\Delta GIH$ 所代表的面积）就是由垄断所引起的社会福利的纯损失，它代表由于垄断造成的低效率带来的损失。

• （2）由于垄断常常导致资源配置缺乏效率，另外垄断利润也被看成是不公平的，因而有必要对垄断进行政府干预。 政府对垄断的干预主要有反垄断法和价格与产量管制。为了消除垄断的影响，政府可以采取反垄断政策。针对不同形式的垄断，政府可以分别或同时采取行业的重新组合和处罚等手段，而这些手段往往是依据反垄断法来执行的。制止垄断行为可以借助于行政命令、经济处罚或法律制裁等手段。反垄断法则是上述措施的法律形式。

• ①行业的重新组合的基本思路是把一个垄断的行业重新组合成包含许多厂商的行业。采取的手段可以是分解原有的厂商，或扫除进入垄断行业的障碍。制止垄断行为可以借助于行政命令、经济处罚或法律制裁等手段。

• ②行业的管制主要是对那些不适合过度竞争的垄断行业，如航空航天、供水等行业所采取的补救措施。政府往往在保留垄断的条件下，对于垄断行业施行价格控制，或价格和产量的双重控制、税收或津贴以及国家直接经营等管治措施。由于政府经营的目的不在于最大利润，所以可以按照边际成本或者平均成本决定价格，以便部分地解决垄断所产生的产量低和价格高的低效率问题。

• ③管制自然垄断的做法还可以采用为垄断厂商规定一个接近于“竞争的”或“公正的”资本回报率，它相当于等量的资本在相似技术、相似风险条件下所能得到的平均市场报酬。由于资本回报率被控制在平均水平，也就在一定程度上控制住了垄断厂商的价格和利润。

3．论外在性对经济效率的影响及其对策。

• （1）无论是消费的外在性还是生产的外在性，无论是正向外在性还是负向外在性，它们产生的影响都是在完全竞争条件下，资源配置将偏离帕累托最优状态。 换句话说，即使整个经济仍然是完全竞争的，但由于存在着外部影响，整个经济的资源配置也不可能达到帕累托最优状态。外在性之所以产生这样严重的后果，其主要原因是外部影响导致决定社会最优的边际收益和边际成本与决定私人最优的边际收益和边际成本出现不同。以生产中出现负向外在性为例。假定某私人厂商对经济社会中的他人产生负向的外部经济影响，并且该厂商并未在其决策中考虑这一点，则社会边际成本大于私人边际成本。在需求既定从而边际收益既定的条件下，私人厂商将会按私人边际成本等于私人边际收益决定产量，而社会最优的产量则取决于社会边际成本等于边际收益。因此，社会需要的产量小于私人的最优产量，即在负向外在性存在的条件下，完全竞争市场的供给过剩。同样的道理，在存在正向外在性的条件下，与社会最优产量相比，私人厂商的生产量不足。由此可见，外在性的存在导致资源配置失当。

• （2）外在性的解决对策

为了纠正由于外部影响所造成的资源配置不当，政府通常可采取以下政策：

• ①使用税收和津贴。对造成外在不经济的企业，国家应该征税，其数额应该等于该企业给社会其他成员造成的损失，从而使该企业的私人成本恰好等于社会成本。

• ②使用企业合并的方法。把产生外在经济影响的经济单位与受到外在影响的经济单位合并在一起，则外在影响就变成为一个单位的内部问题了。合并后的单个企业在边际成本等于边际收益处进行生产，将会符合社会要求的社会边际成本等于社会边际收益决定的量，即此时资源配置达到帕累托最优状态。

• ③使用规定财产权的办法。在许多情况下，外在影响之所以导致资源配置失当，是由于财产权不明确。如果财产权是完全确定的并得到充分保障，则有些外在影响就可能会通过产权的交易得到解决。这一思想体现在科斯定理之中：只要产权明晰，那么在交易成本为零的条件下，无论初始产权的规定如何，市场均衡的最终结果都是有效率的。这样，对外在性问题，只要规定产生外在性的经济单位有权制造它，或者规定受到外在性影响的单位有权拒绝它，则通过这项权利的自由交换，经济当事人会以最低的成本寻求解决方案。

以上纠正外在性的方法在实践中针对不同的情况加以使用。

4．信息不完全何以会造成市场失灵？

信息不完全（或不对称）指市场的供求双方对于所交换的商品不具有充分的信息。信息非对称会导致资源配置不当，减弱市场效率，并且还会产生道德风险和逆向选择。在很多情况下，市场机制并不能解决非对称信息问题。

• （1）逆向选择

逆向选择指在买卖双方信息非对称的情况下，差的商品总是将好的商品驱逐出市场；或者说拥有信息优势的一方，在交易中总是趋向于做出尽可能有利于自己而不利于别人的选择。逆向选择的存在使得市场价格不能真实地反映市场供求关系，导致市场资源配置的低效率。一般在商品市场上卖者关于产品的质量、保险市场上投保人关于自身的情况等等都有可能产生逆向选择问题。解决逆向选择问题的方法主要有：政府对市场进行必要的干预和利用市场信号。

• （2）道德风险 道德风险指在双方信息非对称的情况下，人们享有自己行为的收益，而将成本转嫁给别人，从而造成他人损失的可能性。道德风险的存在不仅使得处于信息劣势的一方受到损失，而且会破坏原有的市场均衡，导致资源配置的低效率。道德风险分析的应用领域主要是保险市场。解决道德风险的主要方法是风险分担。

• （3）委托人—代理人问题

由于信息的不完全性，委托人往往不知道代理人要采取什么行动或者即使知道代理人采取某种行动，也不能观察和测度代理人从事这一行动时的努力程度，同时两者之间存在的利益分割关系，通常会使得代理人不完全按照委托人的意图行事，这在经济学上被称为委托—代理问题。由委托人—代理人问题而导致的效率损失不可能通过政府的干预解决，而需要通过设计有效的激励措施加以解决。解决委托人—代理人问题最有效的办法是实施一种最优合约。最优合约是委托人花费最低限度的成本而使得代理人采取有效率的行动实现委托人目标的合约。

第 8 章 宏观经济活动与宏观经济学

一、名词解释

1．国内生产总值

国内生产总值（GDP）是指经济社会（一国或一个地区）在一定时期内运用生产要素所生产的全部最终产品和劳务的市场价值总和。 GDP 常用于衡量一国的经济产出水平和经济发展程度。GDP 通常采用支出法和收入法这两种方法来进行核算。用支出法计算的国内生产总值等于消费、投资、政府支出和净出口之和；用收入法计算的国内生产总值等于工资、利息、租金、利润、间接税和企业转移支付和折旧之和。

2．国民生产总值

国民生产总值（GNP）是指某国国民在一个既定的时期内所拥有的全部生产要素所生产的最终产品的市场价值总和，即本国常住居民所生产的最终产品市场价值的总和。 无论劳动力和其他生产要素处于国内还是国外，只要是本国国民生产的产品和劳务的价值都计入国民生产总值。这项综合经济指标未扣除生产过程中资本损耗的折旧费用，所以称为“总值”。

3．个人可支配收入

个人可支配收入是指居民家庭全部现金收入中能用于安排家庭日常生活的那部分收入，即用家庭中得到的全部现金收入减去个人所得税、减去记账补贴及家庭从事副业生产支出的费用。 个人收入不能全归个人支配，因为还要缴纳个人所得税，因此，税后的个人收入才是个人可支配收入，即人们可随意用来消费和储蓄的收入。

4．失业率

失业率是指一定时期内失业人数占劳动力总数（就业人数与失业人数之和）的比率。失业率有登记失业率和调查失业率两类。失业率用公式表示为：

$$失业率=\frac{失业人数}{劳动力总数}\times 100\%$$

5．名义的和实际的国民收入

（1）名义的国民收入是按物品和劳务当年的价格计算所得的国民收入，它没有考虑通货膨胀因素。由于通货膨胀等原因，价格可能会发生强烈变化，故为方便比较而引入了实际国民收入的概念。

（2）实际的国民收入是以从前某一年为基年，按基年价格计算所得的国民收入，或者说是用价格指数折算之后的国民收入。

名义国民收入和实际国民收入二者之间的关系式为：$$实际国民收入=名义国民收入÷价格折算指数$$ 。

二、简述题