微分学基础
4.1 函数与导数的定义
函数的定义
- 函数是将每个输入值映射到唯一的输出值的规则。通常用 ( f(x) ) 表示，其中 ( x ) 是自变量，( f(x) ) 是因变量。
导数的定义
- 导数描述了函数的变化率，是函数在某一点的瞬时变化量。设 ( f(x) ) 在点 ( x ) 处可导，则函数在 ( x ) 处的导数 ( f'(x) ) 定义为： [ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} ]
- 这个极限如果存在，则称函数 ( f(x) ) 在 ( x ) 处可导。
4.2 导数的基本规则
常数函数的导数
- 如果 ( f(x) = c )（其中 ( c ) 是常数），则 ( f'(x) = 0 )。
幂函数的导数
- 如果 ( f(x) = x^n )（其中 ( n ) 是常数），则 ( f'(x) = n x^{n-1} )。
和、差、积、商的导数
- 和：如果 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 都可导，则 ( (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) )。
- 差：如果 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 都可导，则 ( (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x) )。
- 积：如果 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 都可导，则 ( (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) )。
- 商：如果 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 都可导，且 ( g(x) \neq 0 )，则 ( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2} )。
4.3 高阶导数
定义
- 高阶导数是对导数的导数。例如，二阶导数 ( f''(x) ) 是 ( f'(x) ) 的导数，三阶导数 ( f'''(x) ) 是 ( f''(x) ) 的导数，以此类推。
高阶导数的计算
- 对 ( f(x) = x^n )，二阶导数 ( f''(x) = n(n-1)x^{n-2} )。
- 对 ( f(x) = e^x )，所有阶导数都是 ( e^x ) 本身。
4.4 微分的几何意义
切线的斜率
- 函数 ( f(x) ) 在点 ( (x_0, f(x_0)) ) 的导数 ( f'(x_0) ) 表示切线的斜率。即在该点的切线与 x 轴的夹角的正切值。
切线方程
- 切线方程可以表示为 ( y - f(x_0) = f'(x_0) (x - x_0) )，其中 ( f'(x_0) ) 是切线的斜率。
4.5 常见函数的导数
指数函数
- 对 ( f(x) = e^x )，其导数 ( f'(x) = e^x )。
对数函数
- 对 ( f(x) = \ln(x) )，其导数 ( f'(x) = \frac{1}{x} )。
三角函数
- 对 ( f(x) = \sin(x) )，其导数 ( f'(x) = \cos(x) )。
- 对 ( f(x) = \cos(x) )，其导数 ( f'(x) = -\sin(x) )。
反三角函数
- 对 ( f(x) = \arctan(x) )，其导数 ( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} )。
4.6 应用
经济学中的应用
- 边际成本和边际收益：在生产和成本分析中，导数用于计算边际成本（成本函数的导数）和边际收益（收益函数的导数）。
- 最大化和最小化问题：导数用于确定函数的极值点（最大值或最小值），例如，优化利润和成本。
- 需求弹性：通过导数来分析价格变化对需求量的影响，计算需求的价格弹性。
例子
- 假设生产成本函数为 ( C(x) = 2x^2 + 3x + 5 )，其中 ( x ) 是生产数量。边际成本 ( MC ) 为 ( C'(x) = 4x + 3 )，这是生产每增加一单位产品所需的额外成本。
这些微分学的基础知识在经济学、工程学、物理学等多个领域中都有广泛的应用，帮助解决实际问题和优化决策。