微分学基础

本章核心问题：「多生产一单位会多赚多少？」「价格再涨 1% 销量会掉多少？」——经济学把这些问题统称为边际分析，而它的数学身份就是导数。为什么 1870 年代以后，整个经济学几乎被改写成一门导数的语言？

本章脉络

微积分诞生于 17 世纪 60—80 年代，牛顿 (1643-1727) 与莱布尼茨 (1646-1716) 各自独立发明，前者从运动的速度出发、后者从切线的几何出发，殊途同归于「瞬时变化率」。但经济学接收这件工具，比它的发明晚了近两百年。1838 年，法国数学家古诺 (1801-1877) 出版《财富理论的数学原理研究》，第一次系统地把函数与导数引进经济分析——今天微观教科书里的古诺双寡头模型（《西方经济学》第 4 章「市场理论」的核心例）正是这本书的遗产。可惜曲高和寡，真正引爆革命的是 1870 年代的边际革命：杰文斯 (1835-1882)、门格尔 (1840-1921) 与瓦尔拉斯不约而同地把价值理论的支点从「总量」（劳动花费了多少）搬到「边际量」（多一单位带来多少）——边际效用递减取代劳动价值论成为价格解释的核心，导数从此成为经济学的母语。1890 年代克拉克 (1847-1939) 把边际生产力推为要素分配的分配法则，1930 年代希克斯 (1904-1989) 把消费者选择整理成约束下的导数条件，「边际」完成了对微观经济学全部主场的接管。

这件工具为什么配得上这个地位？因为经济学的核心问题是选择的调整方向：产量、价格、储蓄率该升该降、停在何处——「在何处停」就是「变化率为零」，这正是导数最擅长回答的问题。本章路线：导数的严格定义与基本求导规则；高阶导数（二阶条件——判断最大还是最小全靠它）；微分的几何意义（切线与线性近似）；常用导数表；最后把边际成本、弹性、一阶条件这些经济学主角与数学逐一对接。

核心概念

导数

导数描述函数在某一点的瞬时变化率。设 $f(x)$ 在点 $x$ 处可导，则

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

这个极限若存在，则称 $f$ 在 $x$ 处可导。定义里的分式 $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 是区间上的平均变化率，$h \to 0$ 把平均压成瞬时。

为什么经济学要的是「瞬时」而非「平均」？因为决策发生在边际上：厂商已经生产了 $x$ 单位，现在讨论第 $x+1$ 单位——不是从头平均（平均成本），而是这一点上的瞬间斜率（边际成本）。古诺与边际革命者的贡献可以概括为一句话：把「多一单位会怎样」从粗糙的平均数提炼成精确的导数。顺带一提，导数存在还要求左右极限一致——函数在折角处（如 $|x|$ 在原点）连续但不可导，这个细节在本章「局限与后续」里会以折弯需求曲线的形式回到经济学。

求导基本规则

常数与幂函数：$f(x) = c \Rightarrow f'(x) = 0$；$f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = nx^{n-1}$。和、差、积、商：若 $f$、$g$ 均可导，则

$$(f \pm g)' = f' \pm g', \qquad (f \cdot g)' = f'g + fg', \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$

常用函数：$(e^x)' = e^x$，$(\ln x)' = \frac{1}{x}$，$(\sin x)' = \cos x$，$(\cos x)' = -\sin x$，$(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$。

为什么要一套规则而不是每次回到定义取极限？因为定义是合法性证明，规则是生产工具：经济学里几乎全部函数（多项式成本、指数增长、对数效用）都可以由这几条规则机械地求导。幂规则 $nx^{n-1}$ 还兼职输出弹性：柯布-道格拉斯生产函数 $Y = AK^{\alpha}L^{\beta}$ 对 $K$、$L$ 分别求导，得 $MP_K = \alpha AK^{\alpha-1}L^{\beta}$、$MP_L = \beta AK^{\alpha}L^{\beta-1}$——指数 $\alpha$、$\beta$ 直接读作产出弹性，这就是它在经验研究中无处不在的原因。更一般地，「取对数再求导」把相对变化率变成对数斜率，第 12 章弹性一节展开。

高阶导数与二阶条件

高阶导数是对导数再求导：$f''(x)$ 是 $f'(x)$ 的导数。对 $f(x) = x^n$，$f''(x) = n(n-1)x^{n-2}$；$e^x$ 的各阶导数都是它自己。

为什么二阶导数在经济学里地位特殊？因为一阶条件 $f'(x) = 0$ 只能找出「平的点」——极大与极小在那里无法区分；区分它们的是二阶条件：$f''(x) < 0$（变化率本身在递减）为极大。经济学里每一条最优化结论都是这对条件的合奏：利润最大化的 $MR = MC$ 之外还要「$MC$ 上升得比 $MR$ 快」；效用最大化的 $MRS = P_X/P_Y$ 之外还要偏好凸性（无差异曲线凸向原点正是二阶条件的几何说法）。边际效用递减、边际成本递增、风险厌恶（效用函数凹）——微观经济学三大「递减」命题，翻译成数学全是 $f'' < 0$。

微分与切线近似

$f$ 在 $(x_0, f(x_0))$ 的导数 $f'(x_0)$ 是该点切线的斜率，切线方程为 $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$。微分 $\mathrm{d}y = f'(x)\mathrm{d}x$ 是用切线近似代替曲线时的增量：$\Delta y \approx f'(x)\Delta x$（当 $\Delta x$ 小时）。

为什么线性近似值得一个专名？因为它是「边际推理有效性」的数学边界：说「多生产一单位多花 $MC$ 元」严格讲只在无穷小单位下成立；对离散的一整单位，微分近似会留有误差——误差在小 $h$ 下可忽略，但在政策量化（如补贴 10% 带来多少产量）里必须意识到这是近似而非恒等。弹性计算里「点弹性与弧弹性」的区分，正是这个近似的经济学版本。

问题与分析

边际成本、边际收益怎样从导数定义读出？

成本函数 $C(x)$ 的边际成本 $MC = C'(x)$——导数定义把它精确化为 $\lim_{h\to 0}\frac{C(x+h)-C(x)}{h}$：多生产 $h$ 单位时每单位带来的成本增量在 $h \to 0$ 下的极限。例：$C(x) = 2x^2 + 3x + 5$，则 $MC = C'(x) = 4x + 3$——产量越高边际成本越高（$x^2$ 项的功劳），这就是成本递增的微观形态。同理总收益 $R(x) = P(x) \cdot x$ 对产量求导得边际收益，需求向下时 $MR < P$（多卖一单位须压低全部在售单位的价格），垄断厂商因此把产量压在 $MR = MC$ 处（《西方经济学》第 4 章「市场理论」完整展开）。

弹性为什么是对数意义下的导数？

需求价格弹性 $E_d = -\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P} \cdot \frac{P}{Q}$，衡量价格变动 1% 时需求量变动的百分比。它不是普通导数而是「相对变化之比」：普通导数回答「绝对量变化」，但对汽车和火柴，「降 1 元」的含义天差地别——只有相对变化可比。把 $Q = AP^{-b}$ 两边取对数得 $\ln Q = \ln A - b \ln P$，弹性恰是对数斜率 $-b$，与价格水平无关——常数弹性的名字由此而来。第 12 章将展示这个「对数求导」技巧如何成为增长核算（索洛余值）的计算基础。

推导与例题

例 1：从成本函数到最优产量

设 $C(x) = 2x^2 + 3x + 5$，价格为 $P = 47$（完全竞争厂商，价格视为给定）。利润 $\pi(x) = 47x - (2x^2 + 3x + 5)$。一阶条件：

$$\pi'(x) = 47 - (4x + 3) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 11$$

二阶条件：$\pi''(x) = -4 < 0$，确为极大。验算经济条件：$x = 11$ 处 $MC = 4(11) + 3 = 47 = P$——竞争厂商「价格等于边际成本」的定格画面。此例同时演示了三件事的合流：求导规则、一阶条件解产量、二阶条件验证性质。

例 2：弹性与总收益的联动

设需求 $Q = 100 - 2P$。点弹性 $E_d = -\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}\cdot\frac{P}{Q} = \frac{2P}{100 - 2P}$。在 $P = 25$（$Q = 50$）处 $E_d = 1$——这正是总收益 $R = P(100 - 2P)$ 的最大点：$R' = 100 - 4P = 0$ 给 $P = 25$。两条线索（弹性为 1、$MR = 0$）在总收入最大点汇合，即「$|E_d| = 1$ 时总收益极值」定理的实例：涨价还是降价，先看当前站在曲线的哪一段弹性区。

局限与后续

其一，可导性假设并非天然成立：斯威齐 (1910-2004) 1939 年的折弯需求曲线把竞争对手「跟跌不跟涨」刻画成需求曲线上的一个折角——折点处导数不存在，边际收益曲线断开，价格因此粘滞。连续可导是建模选择而非现实属性，涉及阈值、停业决策、固定成本时处处是折角。其二，数据是离散的：统计里的「边际」用差分近似（$\Delta y / \Delta x$），样本越粗近似越差；计量经济学的边际效应估计（如 logit 模型的平均边际效应）本质是导数，但可信度受限于函数形式的假设。其三，边际革命之后的修正：张伯伦 (1899-1967) 与罗宾逊 (1903-1983) 1933 年把边际分析推进不完全竞争，同时暴露了 $MR = MC$ 对垄断福利的复杂含义；行为经济学则质疑「无限可分的连续选择」的心理真实性（决策常是离散的、有阈值的）；数值优化（第 12 章延伸）在解析导数不可得时接管。导数语言在修正中扩张而非退役——它是今日经济学唯一无可替代的通用语法。