线性空间与线性变换

9.1 线性空间

定义

  • 线性空间（或称向量空间）是一个集合 ( V )，其上的元素称为向量，满足以下两个操作的封闭性：向量加法和标量乘法。即，对于 ( V ) 中的任意向量 ( \mathbf{u} ) 和 ( \mathbf{v} ) 以及标量 ( c )，以下条件成立：
    • 加法：( \mathbf{u} + \mathbf{v} \in V )
    • 标量乘法：( c \mathbf{u} \in V )

基本性质

  • 封闭性：对加法和标量乘法封闭。
  • 交换律：( \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} )
  • 结合律：( (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) )
  • 零向量：存在一个零向量 ( \mathbf{0} )，使得 ( \mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u} )。
  • 负向量：对于每个向量 ( \mathbf{u} )，存在一个向量 ( -\mathbf{u} ) 使得 ( \mathbf{u} + (-\mathbf{u}) = \mathbf{0} )。
  • 分配律：( c (\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c \mathbf{u} + c \mathbf{v} ) 和 ( (c + d) \mathbf{u} = c \mathbf{u} + d \mathbf{u} )
  • 单位元：存在单位元 ( 1 ) 使得 ( 1 \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u} )。

子空间

  • 子空间是线性空间 ( V ) 的一个子集 ( W )，满足 ( W ) 本身也是一个线性空间。即，对于 ( W ) 中的任意向量 ( \mathbf{u} ) 和 ( \mathbf{v} ) 以及标量 ( c )，都满足子空间的封闭性条件。

线性空间的基与维数

  • 基：线性空间的基是一组线性无关的向量集合，它们能够生成整个空间。即，线性空间中的每一个向量都可以表示为基向量的线性组合。
  • 维数：线性空间的维数是基的大小，即基中向量的数量。

例子

  • 二维平面上的向量空间：所有二维向量 ( \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} ) 形成一个二维线性空间。
  • 多项式空间：所有次数不超过 ( n ) 的多项式组成的空间是一个 ( (n+1) ) 维线性空间。

9.2 线性变换

定义

  • 线性变换（或线性映射）是一个从一个线性空间 ( V ) 到另一个线性空间 ( W ) 的映射 ( T )，满足线性性条件： [ T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) ] [ T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u}) ]

矩阵表示

  • 每个线性变换 ( T ) 可以通过一个矩阵 ( A ) 来表示。对于线性变换 ( T ) 和向量 ( \mathbf{x} )，有： [ T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} ] 其中 ( A ) 是变换矩阵。

变换的性质

  • 可逆性：线性变换 ( T ) 是可逆的当且仅当其变换矩阵 ( A ) 是可逆的。即存在一个变换 ( T^{-1} ) 使得： [ T(T^{-1}(\mathbf{y})) = \mathbf{y} ] [ T^{-1}(T(\mathbf{x})) = \mathbf{x} ]
  • 特征值与特征向量：线性变换的特征值和特征向量与矩阵的特征值和特征向量相同。
  • 相似矩阵：两个矩阵 ( A ) 和 ( B ) 相似，若存在一个可逆矩阵 ( P ) 使得： [ B = P^{-1}AP ] 这意味着它们表示的是相同的线性变换，只是基底不同。

线性变换的核与像

  • 核（Null Space）：变换 ( T ) 的核是所有映射到零向量的输入向量集合： [ \text{ker}(T) = {\mathbf{x} \in V \mid T(\mathbf{x}) = \mathbf{0} } ]
  • 像（Range）：变换 ( T ) 的像是变换后的所有可能结果的集合： [ \text{im}(T) = { T(\mathbf{x}) \mid \mathbf{x} \in V } ]

例子

  • 二维旋转变换：旋转矩阵 [ R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} ] 是一个线性变换，将二维平面上的点绕原点旋转 ( \theta ) 角度。

  • 线性映射的例子：对一个三维空间中的向量 ( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} )，线性变换 ( T ) 由矩阵 ( A ) 定义： [ T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} ] 例如，矩阵 ( A ) 可以表示缩放、旋转或其他线性操作。

线性空间和线性变换是线性代数的核心概念，它们在数学、物理、工程以及计算机科学等领域中具有广泛的应用。理解这些概念可以帮助解决实际问题并进行更深入的理论研究。