线性空间与线性变换
9.1 线性空间
定义
- 线性空间（或称向量空间）是一个集合 $ V $，其上的元素称为向量。在这个集合上定义了向量加法和标量乘法，并且除了满足封闭性外，还要满足交换律、结合律、存在零向量和负向量、分配律以及数乘单位元等公理。对任意 $ \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V $ 和标量 $ c, d $，至少有：
- 加法：$ \mathbf{u} + \mathbf{v} \in V $
- 标量乘法：$ c \mathbf{u} \in V $
基本性质
- 封闭性：对加法和标量乘法封闭。
- 交换律：$ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} $
- 结合律：$ (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) $
- 零向量：存在一个零向量 $ \mathbf{0} $，使得 $ \mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u} $。
- 负向量：对于每个向量 $ \mathbf{u} $，存在一个向量 $ -\mathbf{u} $ 使得 $ \mathbf{u} + (-\mathbf{u}) = \mathbf{0} $。
- 分配律：$ c (\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c \mathbf{u} + c \mathbf{v} $ 和 $ (c + d) \mathbf{u} = c \mathbf{u} + d \mathbf{u} $
- 单位元：存在单位元 $ 1 $ 使得 $ 1 \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u} $。
子空间
- 子空间是线性空间 $ V $ 的一个子集 $ W $，并且 $ W $ 在原有运算下本身也是一个线性空间。检验时通常先检查 $ \mathbf{0} \in W $，再检查对加法和标量乘法封闭。
线性空间的基与维数
- 基：线性空间的基是一组线性无关的向量集合，它们能够生成整个空间。即，线性空间中的每一个向量都可以表示为基向量的线性组合。
- 维数：线性空间的维数是基的大小，即基中向量的数量。
例子
- 二维平面上的向量空间：所有二维向量 $ \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} $ 形成一个二维线性空间。
- 多项式空间：所有次数不超过 $ n $ 的多项式组成的空间是一个 $ (n+1) $ 维线性空间。
9.2 线性变换
定义
- 线性变换（或线性映射）是一个从一个线性空间 $ V $ 到另一个线性空间 $ W $ 的映射 $ T $，满足线性性条件：
$$
T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})
$$
$$
T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u})
$$
矩阵表示
- 每个线性变换 $ T $ 可以通过一个矩阵 $ A $ 来表示。对于线性变换 $ T $ 和向量 $ \mathbf{x} $，有：
$$
T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x}
$$
其中 $ A $ 是变换矩阵。
变换的性质
- 可逆性：线性变换 $ T $ 是可逆的当且仅当其变换矩阵 $ A $ 是可逆的。即存在一个变换 $ T^{-1} $ 使得：
$$
T(T^{-1}(\mathbf{y})) = \mathbf{y}
$$
$$
T^{-1}(T(\mathbf{x})) = \mathbf{x}
$$
- 特征值与特征向量：线性变换的特征值和特征向量与矩阵的特征值和特征向量相同。
- 相似矩阵：两个矩阵 $ A $ 和 $ B $ 相似，若存在一个可逆矩阵 $ P $ 使得：
$$
B = P^{-1}AP
$$
这意味着它们表示的是相同的线性变换，只是基底不同。
线性变换的核与像
- 核（Null Space）：变换 $ T $ 的核是所有映射到零向量的输入向量集合：
$$
\text{ker}(T) = \lbrace \mathbf{x} \in V \mid T(\mathbf{x}) = \mathbf{0} \rbrace
$$
- 像（Range）：变换 $ T $ 的像是变换后的所有可能结果的集合：
$$
\text{im}(T) = \lbrace T(\mathbf{x}) \mid \mathbf{x} \in V \rbrace
$$
例子
- 二维旋转变换：旋转矩阵
$$
R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
$$
是一个线性变换，将二维平面上的点绕原点旋转 $ \theta $ 角度。
- 线性映射的例子：对一个三维空间中的向量 $ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} $，线性变换 $ T $ 由矩阵 $ A $ 定义：
$$
T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x}
$$
例如，矩阵 $ A $ 可以表示缩放、旋转或其他线性操作。
9.3 这章在经济学里回答什么问题
问题 1：多维经济变量能否放进统一框架
- 商品束、投入向量、价格向量、产出向量都可以看作向量空间中的元素。
问题 2：一个政策冲击或技术变动怎样映射成结果变化
- 线性变换描述“输入向量经过规则后如何变成输出向量”，这和投入产出、线性近似、状态转移密切相关。
问题 3：哪些变化方向真正重要
- 基、维数、核与像帮助区分哪些方向有效、哪些变化被抵消、哪些约束让系统失去自由度。
线性空间和线性变换是线性代数的核心概念，它们在数学、物理、工程以及计算机科学等领域中具有广泛的应用。理解这些概念可以帮助解决实际问题并进行更深入的理论研究。