集合与逻辑 - Hello Economics

集合与逻辑

1.1 集合的基本概念

集合的定义

集合是指具有某种特定性质的对象的全体。每一个对象称为该集合的元素。
集合通常用大写字母表示，元素用小写字母表示。

集合的表示方法

列举法：直接列出集合的所有元素，如 $A = {1, 2, 3}$ 。
描述法：用集合的性质描述其元素，如 $B = {x ∣ x 是大于 0 且小于 5 的整数}$ 。

常见集合

空集：没有任何元素的集合，记作 $\emptyset$ 。
全集：包含所有讨论对象的集合，记作 $U$ 。

1.2 子集、并集、交集、补集

子集

若集合 $A$ 的每个元素都是集合 $B$ 的元素，则 $A$ 是 $B$ 的子集，记作 $A \subseteq B$ 。
若 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$ ，则 $A = B$ 。

并集

集合 $A$ 和 $B$ 的并集包含所有在 $A$ 或 $B$ 中的元素，记作 $A \cup B$ 。
例如，若 $A = {1, 2}$ ， $B = {2, 3}$ ，则 $A \cup B = {1, 2, 3}$ 。

交集

集合 $A$ 和 $B$ 的交集包含所有同时在 $A$ 和 $B$ 中的元素，记作 $A \cap B$ 。
例如，若 $A = {1, 2}$ ， $B = {2, 3}$ ，则 $A \cap B = {2}$ 。

补集

集合 $A$ 的补集包含全集 $U$ 中不在 $A$ 中的元素，记作 $A^{'}$ 或 $\overline{A}$ 。
例如，若 $U = {1, 2, 3, 4}$ ， $A = {1, 2}$ ，则 $A^{'} = {3, 4}$ 。

1.3 笛卡尔积

定义

两个集合 $A$ 和 $B$ 的笛卡尔积是所有有序对 $(a, b)$ ，其中 $a \in A$ 且 $b \in B$ ，记作 $A \times B$ 。
例如，若 $A = {1, 2}$ ， $B = {3, 4}$ ，则 $A \times B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}$ 。

应用

笛卡尔积用于定义关系和函数。例如，若 $A$ 和 $B$ 分别表示商品和消费者的集合，则 $A \times B$ 表示所有商品和消费者的组合。

1.4 命题逻辑与谓词逻辑

命题逻辑

命题：一个可以判定真假的陈述。
- 例如，“今天是星期一”是一个命题。
逻辑连接词：用于构建复合命题的词，如“与”（∧）、“或”（∨）、“非”（¬）。
真值表：用于表示复合命题在不同情况下的真假。
- 例如，命题 $p$ 和 $q$ 的“与”复合命题 $p \land q$ 的真值表如下：
$p$ $q$ $p \land q$

T T T

T F F

F T F

F F F
逻辑等价：两个命题逻辑公式在所有可能的真值组合下取相同的真值。
- 例如， $p \land q$ 与 $q \land p$ 是逻辑等价的。

谓词逻辑

谓词：表示对象间的关系或属性的逻辑函数。
- 例如，“x是学生”可以用谓词 $S (x)$ 表示。
量词：用于表示范围的符号，包括全称量词（∀）和存在量词（∃）。
- 例如，“所有人都是学生”可以表示为 $\forall x S (x)$ 。
- “存在一个学生”可以表示为 $\exists x S (x)$ 。

这些逻辑工具在经济学中的应用非常广泛。例如，在博弈论中，用逻辑表达策略和支付函数；在市场分析中，用集合表示不同市场参与者的集合及其相互关系。