集合与逻辑

1.1 集合的基本概念

集合的定义

集合是指具有某种特定性质的对象的全体。每一个对象称为该集合的元素。
集合通常用大写字母表示，元素用小写字母表示。

集合的表示方法

列举法：直接列出集合的所有元素，如 $A = \lbrace 1, 2, 3 \rbrace$。
描述法：用集合的性质描述其元素，如 $B = \lbrace x \mid x \text{ 是大于 0 且小于 5 的整数} \rbrace$。

常见集合

空集：没有任何元素的集合，记作 $\emptyset$。
全集：包含所有讨论对象的集合，记作 $U$。

1.2 子集、并集、交集、补集

子集

若集合 $A$ 的每个元素都是集合 $B$ 的元素，则 $A$ 是 $B$ 的子集，记作 $A \subseteq B$。
若 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$，则 $A = B$。

并集

集合 $A$ 和 $B$ 的并集包含所有在 $A$ 或 $B$ 中的元素，记作 $A \cup B$。
例如，若 $A = \lbrace 1, 2 \rbrace$，$B = \lbrace 2, 3 \rbrace$，则 $A \cup B = \lbrace 1, 2, 3 \rbrace$。

交集

集合 $A$ 和 $B$ 的交集包含所有同时在 $A$ 和 $B$ 中的元素，记作 $A \cap B$。
例如，若 $A = \lbrace 1, 2 \rbrace$，$B = \lbrace 2, 3 \rbrace$，则 $A \cap B = \lbrace 2 \rbrace$。

补集

集合 $A$ 的补集包含全集 $U$ 中不在 $A$ 中的元素，记作 $A'$ 或 $\overline{A}$。
例如，若 $U = \lbrace 1, 2, 3, 4 \rbrace$，$A = \lbrace 1, 2 \rbrace$，则 $A' = \lbrace 3, 4 \rbrace$。

1.3 笛卡尔积

定义

两个集合 $A$ 和 $B$ 的笛卡尔积是所有有序对 $(a, b)$，其中 $a \in A$ 且 $b \in B$，记作 $A \times B$。
例如，若 $A = \lbrace 1, 2 \rbrace$，$B = \lbrace 3, 4 \rbrace$，则 $A \times B = \lbrace (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4) \rbrace$。

应用

笛卡尔积用于定义关系和函数。例如，若 $A$ 和 $B$ 分别表示商品和消费者的集合，则 $A \times B$ 表示所有商品和消费者的组合。

1.4 命题逻辑与谓词逻辑

命题逻辑

命题：一个可以判定真假的陈述。
- 例如，“今天是星期一”是一个命题。
逻辑连接词：用于构建复合命题的词，如“与”（∧）、“或”（∨）、“非”（¬）。
真值表：用于表示复合命题在不同情况下的真假。
- 例如，命题 $p$ 和 $q$ 的“与”复合命题 $p ∧ q$ 的真值表如下：
$p$ $q$ $p ∧ q$

T T T

T F F

F T F

F F F
逻辑等价：两个命题逻辑公式在所有可能的真值组合下取相同的真值。
- 例如，$p ∧ q$ 与 $q ∧ p$ 是逻辑等价的。

谓词逻辑

谓词：表示对象间的关系或属性的逻辑函数。
- 例如，“x是学生”可以用谓词 $S(x)$ 表示。
量词：用于表示范围的符号，包括全称量词（∀）和存在量词（∃）。
- 例如，“所有人都是学生”可以表示为 $∀x S(x)$。
- “存在一个学生”可以表示为 $∃x S(x)$。

1.5 这章在经济学里回答什么问题

问题 1：我们研究的对象到底是谁

集合帮助你把“消费者集合”“厂商集合”“商品集合”“状态集合”分清楚，不然模型里的符号没有边界。

问题 2：一个经济结果由哪些对象配对形成

笛卡尔积用来表示“消费者-商品”“国家-商品”“状态-行动”这类组合，很多函数本质上都是定义在这些组合上的。

问题 3：一个命题什么时候成立

命题逻辑和谓词逻辑帮助你写清楚“若价格上升则需求下降”“对所有消费者都成立”还是“至少存在一个例外”。

典型使用场景

博弈论里定义玩家集合、策略集合、收益函数。
一般均衡里定义消费者集合、厂商集合、商品集合和偏好关系。
国际经济学里区分国家集合、商品集合、要素集合。

这些逻辑工具在经济学中的应用非常广泛。例如，在博弈论中，用逻辑表达策略和支付函数；在市场分析中，用集合表示不同市场参与者的集合及其相互关系。