数列与极限
2.1 数列的定义与表示
数列的定义
- 数列是按一定次序排列的一列数，它们通常用 $a_1, a_2, a_3, \ldots$ 或 $\lbrace a_n \rbrace$ 表示，其中 $a_n$ 是数列的第 $n$ 项。
- 数列可以是有限数列，也可以是无限数列。
数列的表示方法
- 显式表示法：直接给出数列的通项公式。例如，数列 $\lbrace a_n \rbrace$ 的通项公式为 $a_n = n^2$。
- 递归表示法：用前一项或几项来表示当前项。例如，斐波那契数列 $\lbrace F_n \rbrace$ 的定义为 $F_1 = 1$，$F_2 = 1$，以及 $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$（$n \geq 3$）。
2.2 数列的收敛与发散
数列的极限
- 数列 $\lbrace a_n \rbrace$ 的极限 $L$ 是指当 $n$ 趋于无穷大时，$a_n$ 越来越接近某个常数 $L$，记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$。
- 形式化定义：对于任意的正数 $\epsilon$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，$|a_n - L| < \epsilon$。
收敛数列
- 如果数列 $\lbrace a_n \rbrace$ 存在极限 $L$，则称 $\lbrace a_n \rbrace$ 为收敛数列，且 $L$ 为其极限。
- 例如，数列 $\lbrace \frac{1}{n} \rbrace$ 收敛于 0，因为当 $n$ 趋于无穷大时，$\frac{1}{n}$ 越来越接近 0。
发散数列
- 如果数列 $\lbrace a_n \rbrace$ 不存在有限极限，则称 $\lbrace a_n \rbrace$ 为发散数列。
- 例如，数列 $\lbrace n \rbrace$ 发散，因为它没有趋近于某个常数。
2.3 极限的基本性质与运算法则
极限的唯一性
- 数列的极限如果存在，则唯一。
极限的四则运算
- 设 $\lim_{n \to \infty} a_n = A$，$\lim_{n \to \infty} b_n = B$，则有： $$ \lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = A \pm B $$ $$ \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B $$ $$ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_n}{b_n} \right) = \frac{A}{B} \quad (B \neq 0) $$
夹逼准则
- 若 $a_n \leq b_n \leq c_n$ 对于所有 $n$ 成立，且 $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = L$，则 $\lim_{n \to \infty} b_n = L$。
2.4 常见数列极限
几何级数
- 数列 $\lbrace ar^n \rbrace$ 中，若 $|r| < 1$，则 $\lim_{n \to \infty} ar^n = 0$。
- 例如，数列 $\lbrace \frac{1}{2^n} \rbrace$ 的极限为 0。
调和数列
- 数列 $\left\lbrace \frac{1}{n} \right\rbrace$ 的极限为 0。
- 需要注意：如果讨论的是调和级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
$$
那么它不是收敛的，而是发散的。
常见极限公式
- $\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$。
- $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1$。
- $\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2} = \frac{1}{2}$。
数列与极限在经济学中的应用
这章在经济学里回答什么问题
- 长期会不会稳定下来：看资本存量、债务率、价格水平、人口或资产路径是否收敛到稳态。
- 无限期问题有没有有限答案：贴现和、无限期效用、永久收入都依赖收敛性。
- 短期调整会不会爆炸：如果一个动态过程不断偏离均衡，就需要极限工具判断它是否发散。
时间序列分析
- 用于分析经济变量随时间的变化，如GDP、通货膨胀率等。
- 通过极限概念，可以研究经济变量在长期趋势下的行为。
增长模型
- 例如，索洛增长模型中的资本积累方程常用数列来描述资本的变化。
- 极限用于分析模型在长期均衡状态下的资本水平。
折现因子
- 经济学中常用数列和极限计算未来现金流的现值。
- 例如，折现因子 $\lbrace (1 + r)^{-n} \rbrace$ 收敛于 0，当 $n$ 趋于无穷大时。
这些基本概念和工具在经济学的各个领域中都有重要的应用，帮助经济学家分析动态经济模型、预测经济趋势、进行数据分析等。