积分学基础
5.1 积分的定义与基本概念
积分的定义
- 积分是对函数进行累积的过程，用于计算面积、体积、总量等。积分可以分为定积分和不定积分。
不定积分
- 不定积分是原函数的集合，表示一个函数的所有原函数的总和。记作：
$$
\int f(x) , dx
$$
- 其中，$ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的原函数，即 $ F'(x) = f(x) $。不定积分的结果是一个函数加上常数 $ C $（常数积分项），因此：
$$
\int f(x) , dx = F(x) + C
$$
定积分
- 定积分是对函数在给定区间上的累积，计算结果是一个具体的数值。几何上，它表示函数图形与 x 轴之间的有向面积。记作：
$$
\int_{a}^{b} f(x) , dx
$$
- 其中，$ a $ 和 $ b $ 是积分的下限和上限。
5.2 积分的基本规则
常数乘法规则
- 对于常数 $ c $ 和函数 $ f(x) $，有：
$$
\int c \cdot f(x) , dx = c \cdot \int f(x) , dx
$$
和/差规则
- 对于函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $，有：
$$
\int \left(f(x) \pm g(x)\right) , dx = \int f(x) , dx \pm \int g(x) , dx
$$
分部积分法
- 对于函数 $ u(x) $ 和 $ v(x) $，有：
$$
\int u , dv = uv - \int v , du
$$
代换法
- 对于函数 $ f(g(x)) \cdot g'(x) $，可以用 $ u = g(x) $ 代换，得到：
$$
\int f(g(x)) \cdot g'(x) , dx = \int f(u) , du
$$
5.3 常见不定积分
幂函数
- 对于 $ \int x^n , dx $（$ n \neq -1 $），有：
$$
\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
$$
指数函数
- 对于 $ \int e^x , dx $，有：
$$
\int e^x , dx = e^x + C
$$
对数函数
- 对于 $ \int \frac{1}{x} , dx $，有：
$$
\int \frac{1}{x} , dx = \ln|x| + C
$$
三角函数
- 对于 $ \int \sin(x) , dx $，有：
$$
\int \sin(x) , dx = -\cos(x) + C
$$
- 对于 $ \int \cos(x) , dx $，有：
$$
\int \cos(x) , dx = \sin(x) + C
$$
5.4 常见定积分
常数函数
- 对于 $ \int_{a}^{b} c , dx $，有：
$$
\int_{a}^{b} c , dx = c \cdot (b - a)
$$
幂函数
- 对于 $ \int_{a}^{b} x^n , dx $（$ n \neq -1 $），有：
$$
\int_{a}^{b} x^n , dx = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1}
$$
指数函数
- 对于 $ \int_{a}^{b} e^x , dx $，有：
$$
\int_{a}^{b} e^x , dx = e^b - e^a
$$
对数函数
- 对于 $ \int_{a}^{b} \frac{1}{x} , dx $，有：
$$
\int_{a}^{b} \frac{1}{x} , dx = \ln|b| - \ln|a|
$$
三角函数
- 对于 $ \int_{a}^{b} \sin(x) , dx $，有：
$$
\int_{a}^{b} \sin(x) , dx = -\cos(b) + \cos(a)
$$
- 对于 $ \int_{a}^{b} \cos(x) , dx $，有：
$$
\int_{a}^{b} \cos(x) , dx = \sin(b) - \sin(a)
$$
5.5 积分的几何意义
面积计算
- 定积分的几何意义是计算函数图形下方区域的面积。当函数 $ f(x) \geq 0 $ 时，定积分 $ \int_{a}^{b} f(x) , dx $ 表示函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上的面积。
体积计算
- 积分可以用来计算旋转体的体积，例如通过圆盘法或圆环法计算旋转体的体积。
例子
- 计算函数 $ f(x) = x^2 $ 在区间 $[0, 2]$ 上的面积：
$$
\int_{0}^{2} x^2 , dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{2} = \frac{8}{3}
$$
5.6 应用
这章在经济学里回答什么问题
- 边际量累加后会得到什么总量：边际成本累积成总成本，边际效用或边际支付意愿累积成总量。
- 一段区间上的总效果有多大：例如总支付意愿、总福利变动、连续时间下的总消费或总产出。
- 连续模型里怎样从“变化率”回到“存量”：积分把流量变量重新还原为总量变量。
经济学中的应用
- 总收入计算：若价格随销售量变化，且逆需求函数为 $ p(q) $，则销售 $ q $ 单位时的总收入通常写为：
$$
R(q) = p(q) \cdot q
$$
- 消费者总支付意愿：若把逆需求函数理解为每一单位商品的边际支付意愿，则
$$
\int_{0}^{q} p(x) , dx
$$
表示前 $ q $ 单位商品的总支付意愿，也常用于图形上计算需求曲线下的面积。
- 生产函数：通过积分计算生产函数的累积产出。
- 消费与储蓄模型：在生命周期模型中，积分用于计算消费者的总消费和储蓄。
例子
- 如果逆需求函数是 $ p(q) = 100 - q $，则销售 $ 50 $ 单位时的总收入为：
$$
R(50) = p(50) \cdot 50 = (100 - 50)\cdot 50 = 2500
$$
- 同时，需求曲线下从 $ 0 $ 到 $ 50 $ 的面积为：
$$
\int_{0}^{50} (100 - q) , dq = \left. 100q - \frac{q^2}{2} \right|_{0}^{50} = 3750
$$
这个面积可理解为前 $ 50 $ 单位商品的总支付意愿，而不是通常意义上的总收入。
5.7 积分在西方经济学中的具体使用场景
第 1 章 需求与供给
- 需求曲线和供给曲线下的面积用于理解消费者剩余、生产者剩余和福利变化。
- 当价格变化时，积分可以更精确地刻画总支付意愿和福利损失。
第 2 章 效用论
- 当边际效用函数已知时，积分可以把边际效用累积回总效用。
- 连续消费情形下，总效用可以看成边际效用的累积。
第 3 章 生产和成本论
- 若已知边际成本函数 $ MC(q) $，可通过积分恢复总可变成本函数。
- 若已知边际产量或边际产品价值的连续变化，也可用积分得到总量。
第 4 章 市场理论
- 一级价格歧视、垄断福利损失、消费者剩余变化等，常常需要用曲线下的面积来表达。
- 当需求函数不是简单直线时，积分比几何面积公式更通用。
第 6 章 一般均衡论和福利经济学
- 福利分析本质上经常是在比较不同配置下的总收益、总成本和剩余面积。
- 边际转换率与边际替代率背后的总量关系，也可借助积分理解。
第 10 章 产品市场和货币市场的一般均衡
- 资本边际效率本质上就是把未来收益流折现并加总，这和离散求和最接近；如果进入连续时间模型，则会自然过渡到积分表示。
第 13 章 经济增长
- 在连续时间增长模型中，资本存量、消费流和产出流的累计都要用积分描述。
这些积分学基础知识在经济学、物理学、工程学等领域具有广泛的应用，帮助分析和解决实际问题。