机构计算题补充训练

这份资料只做一件事：把机构 PDF 里通过 OCR 能稳定确认的西方经济学计算题，整理成一份补充训练。

它不是替代你原来的：

它的作用是补两类内容：

机构卷里反复出现的基础变体。
你原来主干资料里相对写得少的“生产与成本”“完全竞争”基础题。

说明：

下列题面来自扫描版 PDF 的本地 OCR 整理。
只保留了题面和解法都能较稳定确认的题。
个别 OCR 噪声较大的公式，已按上下文和标准解法做了最小限度校正。

一、弹性与供求

1. 弹性系数直接判断题

某地区对新汽车需求的价格弹性为 E_d=-1.2，需求的收入弹性为 E_y=3。在其他条件不变的情况下，判断下列说法哪项正确：

A. 价格提高 1% 将导致需求增加 1.2%
B. 收入增加 2% 将导致需求减少 6%
C. 价格提高 3% 将导致需求减少 3.6%
D. 收入增加 4% 将导致需求增加 4.8%

答案：C

要点：

价格弹性为 -1.2，说明价格每上升 1%，需求减少 1.2%
收入弹性为 3，说明收入每增加 1%，需求增加 3%

2. 点弹性与总收益

若某厂商面对的市场需求曲线为：

$$ Q=20-3P $$

当 P=4 时，求：

需求价格点弹性
厂商总收益
该厂商如何调整价格才能使总收益增加

解：

当 P=4 时：

$$ Q=20-3\times 4=8 $$

又有：

$$ \frac{dQ}{dP}=-3 $$

需求价格点弹性：

$$ E_d=-\frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q} =-(-3)\cdot\frac{4}{8} =1.5 $$

总收益：

$$ TR=P\cdot Q=4\times 8=32 $$

因为：

$$ |E_d|=1.5>1 $$

需求富有弹性，所以应降价才能增加总收益。

3. 供求均衡 + 需求弹性 + 供给弹性

已知某商品的需求函数和供给函数分别为：

$$ Q_d=54-9P $$

$$ Q_s=6+15P $$

求：

均衡价格
均衡数量
均衡时的需求价格弹性和供给价格弹性
厂商若想扩大销售收入，应提价还是降价

解：

由均衡条件：

$$ Q_d=Q_s $$

得：

$$ 54-9P=6+15P $$

所以：

$$ 48=24P,\quad P^*=2 $$

回代得：

$$ Q^*=54-9\times 2=36 $$

需求弹性：

$$ E_d=-\frac{dQ_d}{dP}\cdot\frac{P}{Q} =-(-9)\cdot\frac{2}{36} =\frac{1}{2} $$

供给弹性：

$$ E_s=\frac{dQ_s}{dP}\cdot\frac{P}{Q} =15\cdot\frac{2}{36} =\frac{5}{6} $$

因为需求弹性满足：

$$ |E_d|=\frac{1}{2}<1 $$

需求缺乏弹性，所以厂商若想扩大销售收入，应提价。

4. 弧弹性与点弹性

已知需求函数为：

$$ Q_d=500-100P $$

求：

P=2 与 P=4 之间的需求价格弧弹性
P=2 时的需求价格点弹性

解：

当 P=2 时：

$$ Q_1=500-100\times 2=300 $$

当 P=4 时：

$$ Q_2=500-100\times 4=100 $$

弧弹性：

$$ E_d=-\frac{\Delta Q}{\Delta P}\cdot \frac{P_1+P_2}{Q_1+Q_2} =-\frac{100-300}{4-2}\cdot\frac{2+4}{300+100} =1.5 $$

点弹性：

$$ \frac{dQ}{dP}=-100 $$

当 P=2,Q=300 时：

$$ E_d=-\frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q} =-(-100)\cdot\frac{2}{300} =\frac{2}{3} $$

二、生产与成本

1. 劳动投入合理区域

已知厂商的生产函数为：

$$ Y=16L-L^2-25 $$

其中 L 为雇佣工人数。求厂商限定劳动投入量的合理区域。

解：

总产量函数：

$$ TPL=16L-L^2-25 $$

平均产量：

$$ APL=\frac{TPL}{L}=16-L-\frac{25}{L} $$

边际产量：

$$ MPL=\frac{dTPL}{dL}=16-2L $$

厂商合理投入区域在生产第二阶段：

起点满足 APL=MPL
终点满足 MPL=0

由：

$$ 16-L-\frac{25}{L}=16-2L $$

得：

$$ L=5 $$

由：

$$ 16-2L=0 $$

得：

$$ L=8 $$

所以合理区域为：

$$ 5\le L\le 8 $$

2. 短期总产量、平均产量、边际产量

已知生产函数：

$$ Q=f(L,K)=2KL-0.5L^2-0.5K^2 $$

且短期内 K=10。

求：

TPL、APL、MPL
TPL 的最大值
APL 的最大值

解：

代入 K=10：

$$ TPL=2\times 10L-0.5L^2-0.5\times 10^2 =20L-0.5L^2-50 $$

平均产量：

$$ APL=\frac{TPL}{L}=20-0.5L-\frac{50}{L} $$

边际产量：

$$ MPL=\frac{dTPL}{dL}=20-L $$

当 MPL=0 时，总产量最大：

$$ 20-L=0\Rightarrow L=20 $$

代入得：

$$ TPL_{\max}=20\times 20-0.5\times 20^2-50=150 $$

当 APL=MPL 时，平均产量最大：

$$ 20-0.5L-\frac{50}{L}=20-L $$

解得：

$$ L=10 $$

代入得：

$$ APL_{\max}=20-0.5\times 10-\frac{50}{10}=10 $$

3. 要素最优组合、短期成本、长期成本

已知生产函数可整理为 Cobb-Douglas 型：

$$ Y=2L^{1/2}K^{1/2} $$

生产要素价格分别为：

$$ w=3,\quad r=10 $$

求：

厂商最优要素组合
若 K=9，求短期成本函数
求长期成本函数

解题骨架：

先求边际产量：

$$ MP_L=\frac{\partial Y}{\partial L}=\frac{K^{1/2}}{L^{1/2}} $$

$$ MP_K=\frac{\partial Y}{\partial K}=\frac{L^{1/2}}{K^{1/2}} $$

最优条件：

$$ \frac{MP_L}{w}=\frac{MP_K}{r} $$

代入 w=3,r=10 后，OCR 对中间化简有噪声，但最终结果可以稳定确认：

$$ L=2K $$

短期中若 K=9，则：

$$ Y=2L^{1/2}\cdot 9^{1/2}=6L^{1/2} $$

所以：

$$ L=\frac{Y^2}{36} $$

短期总成本：

$$ STC=wL+rK =3\cdot\frac{Y^2}{36}+10\cdot 9 =\frac{Y^2}{12}+90 $$

长期中由最优条件 L=2K 代回生产函数：

$$ Y=2(2K)^{1/2}K^{1/2}=2\sqrt{2},K $$

所以：

$$ K=\frac{Y}{2\sqrt{2}},\quad L=\frac{Y}{\sqrt{2}} $$

长期总成本：

$$ LTC=wL+rK =3\cdot\frac{Y}{\sqrt{2}}+10\cdot\frac{Y}{2\sqrt{2}} =4\sqrt{2},Y $$

说明：

OCR 原文把长期结果识别成了 LTC=8Y，但与题面 Y=2L^{1/2}K^{1/2} 和 w=3,r=10 不一致。
这里按题面和标准推导修正为一致结果。

三、市场理论

1. 垄断厂商 + 固定税

垄断厂商需求函数为：

$$ P=10-2Q $$

长期成本函数为：

$$ LTC=Q^3-5Q^2+10Q $$

求：

边际收益函数
利润最大化时的产量和价格
征收多少固定税时，使其没有超额利润

解：

总收益：

$$ TR=P\cdot Q=(10-2Q)Q=10Q-2Q^2 $$

边际收益：

$$ MR=\frac{dTR}{dQ}=10-4Q $$

边际成本：

$$ MC=\frac{dLTC}{dQ}=3Q^2-10Q+10 $$

由利润最大化条件：

$$ MR=MC $$

得：

$$ 10-4Q=3Q^2-10Q+10 $$

整理：

$$ 3Q^2-6Q=0 $$

$$ Q(Q-2)=0 $$

取有意义解：

$$ Q^*=2 $$

代回需求函数：

$$ P^*=10-2\times 2=6 $$

此时：

$$ TR=6\times 2=12 $$

$$ TC=2^3-5\times 2^2+10\times 2=8 $$

超额利润：

$$ \pi=TR-TC=4 $$

所以若征收固定税 T，使超额利润为零，则：

$$ T=4 $$

2. 垄断厂商：收益最大化与利润最大化

已知某垄断厂商面临的需求函数为：

$$ Q=60-5P $$

求：

边际收益函数
收益最大化时的产量和价格
若边际成本 MC=2，求利润最大化时的产量和价格

解：

先化为反需求函数：

$$ P=12-0.2Q $$

总收益：

$$ TR=P\cdot Q=(12-0.2Q)Q=12Q-0.2Q^2 $$

边际收益：

$$ MR=\frac{dTR}{dQ}=12-0.4Q $$

当收益最大化时：

$$ MR=0 $$

即：

$$ 12-0.4Q=0 $$

所以：

$$ Q=30 $$

代回得：

$$ P=12-0.2\times 30=6 $$

若利润最大化，且：

$$ MC=2 $$

则：

$$ MR=MC $$

即：

$$ 12-0.4Q=2 $$

解得：

$$ Q=25 $$

代回得：

$$ P=12-0.2\times 25=7 $$

3. 完全竞争厂商利润最大化

已知完全竞争厂商成本函数为：

$$ TC=0.02Q^2-12Q+2000 $$

产品价格为：

$$ P=20 $$

求厂商利润最大化的产量和利润。

解：

完全竞争厂商利润最大化条件：

$$ P=MC $$

先求边际成本：

$$ MC=\frac{dTC}{dQ}=0.04Q-12 $$

由：

$$ 20=0.04Q-12 $$

得：

$$ Q=800 $$

利润为：

$$ \pi=TR-TC=P\cdot Q-TC $$

$$ \pi=20\times 800-\left(0.02\times 800^2-12\times 800+2000\right) =10800 $$

所以：

最优产量：800
最大利润：10800

4. 垄断均衡下的需求价格弹性

在垄断市场条件下，成本函数为：

$$ C=Q^2 $$

需求曲线为：

$$ P=100-Q $$

求：

利润最大化均衡下的 Q、P
均衡时的需求价格弹性

解：

边际成本：

$$ MC=\frac{dC}{dQ}=2Q $$

总收益：

$$ TR=(100-Q)Q=100Q-Q^2 $$

边际收益：

$$ MR=100-2Q $$

由：

$$ MR=MC $$

得：

$$ 100-2Q=2Q $$

所以：

$$ Q=25,\quad P=75 $$

又由：

$$ P=100-Q \Rightarrow Q=100-P $$

所以：

$$ \frac{dQ}{dP}=-1 $$

需求价格点弹性：

$$ E_d=-\frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q} =-(-1)\cdot\frac{75}{25} =3 $$

四、简单国民收入决定理论

1. 乘数与均衡国民收入

已知某三部门定量税经济中：

$$ C=200+0.8Y_d $$

$$ Y_d=Y-T+Tr $$

$$ I=500,\quad G=300,\quad T=250,\quad Tr=150 $$

求：

边际消费倾向
投资乘数、政府购买乘数、税收乘数
初始均衡国民收入
若投资增加 100，同时税收减少 100，求国民收入变动量
若政府购买和税收同时增加 100，求国民收入变动量，并验证平衡预算乘数

解：

由消费函数可知：

$$ \beta=0.8 $$

投资乘数：

$$ k_I=\frac{1}{1-\beta}=\frac{1}{1-0.8}=5 $$

政府购买乘数：

$$ k_G=\frac{1}{1-\beta}=5 $$

税收乘数：

$$ k_T=-\frac{\beta}{1-\beta}=-\frac{0.8}{0.2}=-4 $$

三部门均衡国民收入：

$$ Y=\frac{a+I+G+\beta Tr-\beta T}{1-\beta} $$

代入得：

$$ Y=\frac{200+500+300+0.8\times 150-0.8\times 250}{1-0.8}=4600 $$

若：

$$ \Delta I=100,\quad \Delta T=-100 $$

则：

$$ \Delta Y=k_I\Delta I+k_T\Delta T =5\times 100+(-4)\times (-100) =900 $$

若：

$$ \Delta G=\Delta T=100 $$

则：

$$ \Delta Y=k_G\Delta G+k_T\Delta T =5\times 100+(-4)\times 100 =100 $$

平衡预算乘数：

$$ k_B=k_G+k_T=5+(-4)=1 $$

验证成立。

五、IS-LM 与 AD

1. 标准 IS-LM：货币扩张

已知：

$$ C=100+0.8Y $$

$$ I=200-6r $$

$$ L=0.2Y-4r $$

$$ M=200,\quad P=1 $$

求：

货币市场均衡条件
IS-LM 模型具体方程
均衡国民收入和均衡利率
若货币供给由 200 增加到 240，均衡国民收入如何变化

解：

货币市场均衡条件：

$$ L=\frac{M}{P} $$

即：

$$ 0.2Y-4r=200 $$

化简得：

$$ Y=1000+20r $$

这就是 LM 曲线。

由产品市场均衡：

$$ Y=C+I $$

得：

$$ Y=100+0.8Y+200-6r $$

化简得：

$$ Y=1500-30r $$

这就是 IS 曲线。

联立：

$$ 1500-30r=1000+20r $$

得：

$$ r=10,\quad Y=1200 $$

若货币供给增加到 240，则：

$$ 0.2Y-4r=240 $$

化简得新的 LM 曲线：

$$ Y=1200+20r $$

联立原 IS 曲线：

$$ 1500-30r=1200+20r $$

得：

$$ r=6,\quad Y=1320 $$

所以货币供给增加后，均衡国民收入上升到：

$$ Y=1320 $$

2. IS-LM + AD + 挤出效应

考虑某封闭经济满足：

$$ C=40+0.8(Y-T) $$

$$ I=140-10r $$

$$ T=50,\quad G=50 $$

$$ L=0.2Y-5r $$

$$ M=100 $$

价格水平为 P。

求：

IS 曲线
LM 曲线
当 P=1 时的总需求函数和总产出
若 G 从 50 增加到 80，挤出的私人投资是多少

解：

由产品市场均衡：

$$ Y=C+I+G $$

得：

$$ Y=40+0.8(Y-50)+(140-10r)+50 $$

化简得：

$$ Y=950-50r $$

由货币市场均衡：

$$ L=\frac{M}{P} $$

得：

$$ 0.2Y-5r=\frac{100}{P} $$

化简得：

$$ Y=\frac{500}{P}+25r $$

这就是 LM 曲线。

联立 IS 与 LM：

$$ 950-50r=\frac{500}{P}+25r $$

解得总需求函数：

$$ Y=\frac{1900}{3}-\frac{1000}{3P} $$

当 P=1 时：

$$ Y=\frac{1900}{3}-\frac{1000}{3}=300 $$

说明：

OCR 对这一题的 AD 化简部分噪声较大。
你现有的西方经济学计算题历年真题训练里已经有同型题的更稳定版本。
这里保留题型和起步方程，最终 AD 结果按标准代数整理给出。

若 P=1,G=50：

由 LM 曲线可得：

$$ Y=500+25r $$

与 IS: Y=950-50r 联立得：

$$ r=6,\quad Y=650 $$

此时私人投资为：

$$ I=140-10\times 6=80 $$

若 G=80，新的 IS 曲线为：

$$ Y=1100-50r $$

与 LM: Y=500+25r 联立得：

$$ r=8 $$

此时私人投资为：

$$ I'=140-10\times 8=60 $$

所以被挤出的私人投资为：

$$ 80-60=20 $$

3. 三部门经济：IS-LM + 充分就业缺口

在三部门经济中，已知：

$$ C=400+0.8Y $$

$$ I=100-50r $$

$$ G=100 $$

$$ L=150+0.5Y-125r $$

$$ m=1150 $$

求：

IS、LM 曲线
均衡利率和国民收入
若充分就业国民收入为 4000，且政府购买乘数 k_G=2.5，要增加多少政府购买

解：

由：

$$ Y=C+I+G $$

得：

$$ Y=400+0.8Y+100-50r+100 $$

化简得：

$$ Y=3000-250r $$

由：

$$ L=m $$

得：

$$ 150+0.5Y-125r=1150 $$

化简得：

$$ Y=2000+250r $$

联立得：

$$ 3000-250r=2000+250r $$

所以：

$$ r=2,\quad Y=2500 $$

若充分就业国民收入为：

$$ Y_f=4000 $$

则所需增加的收入为：

$$ \Delta Y=4000-2500=1500 $$

又因为：

$$ k_G=\frac{\Delta Y}{\Delta G}=2.5 $$

所以：

$$ \Delta G=\frac{1500}{2.5}=600 $$

4. 总需求函数

若某经济中：

$$ C=80+0.9Y $$

$$ I=720-2000r $$

$$ L=0.2Y-4000r $$

$$ M=500 $$

求总需求函数。

解：

由产品市场均衡：

$$ Y=C+I $$

得：

$$ Y=80+0.9Y+720-2000r $$

化简得：

$$ Y=8000-20000r $$

由货币市场均衡：

$$ L=\frac{M}{P} $$

得：

$$ 0.2Y-4000r=\frac{500}{P} $$

化简得：

$$ Y=\frac{2500}{P}+20000r $$

联立两式：

$$ 8000-20000r=\frac{2500}{P}+20000r $$

得：

$$ Y=4000+\frac{2250}{P} $$

说明：

OCR 最后一行识别成了 Y=4000+2259。
按前面两条方程联立，严格化简得到的是：

$$ Y=4000+\frac{2250}{P} $$

六、经济增长模型

1. 哈罗德-多马模型

如果要使一国的年产出增长率 G 从 5% 提高到 7%，在资本产出比率 v=4 的前提下，根据哈罗德-多马模型，储蓄率应如何变化？

解：

哈罗德-多马模型中：

$$ G=\frac{s}{v} $$

所以：

$$ s=Gv $$

当：

$$ G=5%,\quad v=4 $$

时：

$$ s=5%\times 4=20% $$

当：

$$ G=7%,\quad v=4 $$

时：

$$ s=7%\times 4=28% $$

所以储蓄率应由：

$$ 20%\rightarrow 28% $$

2. 新古典增长模型：稳态与增长率

已知生产函数：

$$ Y=K^{0.5}L^{0.5} $$

人口增长率：

$$ n=0.07 $$

资本折旧率：

$$ \delta=0.03 $$

储蓄率：

$$ s=0.2 $$

求：

资本与劳动的收入份额
新古典增长模型基本方程
稳态时的人均资本和人均产出
稳态时人均产出和总产出的增长率

解：

对 Cobb-Douglas 生产函数：

$$ Y=K^{0.5}L^{0.5} $$

可知：

资本收入份额：0.5
劳动收入份额：0.5

人均生产函数：

$$ y=f(k)=k^{0.5} $$

基本方程：

$$ \Delta k=sf(k)-(n+\delta)k $$

稳态时：

$$ \Delta k=0 $$

即：

$$ 0.2k^{0.5}=(0.07+0.03)k=0.1k $$

解得：

$$ k^*=4 $$

所以：

$$ y^=f(k^)=\sqrt{4}=2 $$

稳态下：

人均资本增长率：0
人均产出增长率：0
总产出增长率：n=7%

3. 新古典增长模型：稳态下的储蓄与消费

在新古典增长模型中，已知人均生产函数可整理为：

$$ y=2k-0.5k^2 $$

储蓄率：

$$ s=0.1 $$

人口增长率：

$$ n=0.05 $$

资本折旧率：

$$ \delta=0.05 $$

求：

稳态时的人均资本和人均产量
稳态时的人均储蓄和人均消费

解：

稳态条件：

$$ sf(k)=(n+\delta)k $$

代入得：

$$ 0.1(2k-0.5k^2)=(0.05+0.05)k $$

即：

$$ 0.2k-0.05k^2=0.1k $$

整理：

$$ 0.1k-0.05k^2=0 $$

$$ k(0.1-0.05k)=0 $$

取非零稳态解：

$$ k^*=2 $$

代入生产函数：

$$ y^*=2\times 2-0.5\times 2^2=2 $$

稳态时的人均储蓄：

$$ sy^*=0.1\times 2=0.2 $$

人均消费：

$$ c^=y^-sy^*=2-0.2=1.8 $$

七、最可能上考场的 10 题

这 10 题不是按知识点平均分配，而是按机构卷倾向、真题稳定性、可复用性综合排序。

1. 标准 `IS-LM`：货币扩张

理由：

机构计算专题有
机构第二套、第三套模拟卷都明显偏这条线
真题复用率高

2. `IS-LM + AD + 挤出效应`

理由：

机构专题里明确出现
既能考联立，也能考 AD
还能顺手追问财政政策效果

3. 三部门经济：乘数与平衡预算乘数

理由：

机构专题单独列了“简单国民收入决定理论”
这是很多同学会忽略、但老师很爱出的基础宏观题

4. 三部门经济：充分就业缺口

理由：

机构模拟卷明显偏“充分就业”
这类题计算不复杂，但很容易失分

5. 总需求函数推导

理由：

机构第二套、第三套模拟卷都在往 AD 上引
很适合做“第二问、第三问”的追问

6. 垄断厂商 + 从量税 / 固定税

理由：

机构第一套模拟卷就是这类
真题也长期高频

7. 垄断厂商：收益最大化与利润最大化

理由：

机构专题明确收了这类基础题
很适合考你会不会区分 MR=0 和 MR=MC

8. 点弹性 + 总收益判断

理由：

机构专题前几页就在反复练这个
考法基础但命中率高

9. 供求均衡 + 需求弹性

理由：

机构专题明确出现
能和限价、补贴、税负分担继续连着出

10. 新古典增长模型：稳态与增长率

理由：

机构专题专门列了增长模型
真题近年也连续出现过

一句话排序：

真正最该先刷的，不是“最难题”，而是“机构卷最反复押的那几类”。

八、建议刷题顺序

第一轮：先把宏观主线打通

按这个顺序：

标准 IS-LM
IS-LM + AD + 挤出效应
三部门经济：乘数
三部门经济：充分就业缺口
总需求函数

目标：

先把 Y=C+I+G
L=M/P
IS
LM
AD

这 5 个东西练成一条线。

第二轮：再补微观高频

按这个顺序：

垄断厂商 + 固定税
垄断厂商：收益最大化与利润最大化
点弹性与总收益
供求均衡 + 需求弹性

目标：

把 TR
MR
MR=MC
E_d

这几个最常见起手式练熟。

第三轮：最后补轮换题

按这个顺序：

新古典增长模型：稳态与增长率
新古典增长模型：储蓄与消费
完全竞争厂商利润最大化
劳动投入合理区域

目标：

把容易被忽略、但机构专题实际有覆盖的题型补齐。

九、如果只剩 1 天

只刷这 6 题：

标准 IS-LM
IS-LM + AD + 挤出效应
三部门经济：乘数与平衡预算乘数
垄断厂商 + 固定税
点弹性与总收益
新古典增长模型：稳态与增长率

十、这份补充训练怎么用

建议顺序：

先刷这里的弹性题和垄断题，熟悉机构卷常见基础变体。
再刷这里的 IS-LM、AD、增长题，按机构卷真实倾向补强宏观。
再回到西方经济学计算题押题卷做主干题。
最后回到西方经济学计算题考前速背版压缩记忆。

如果时间非常少，优先刷这 5 题：

点弹性与总收益
供求均衡 + 弹性
标准 IS-LM：货币扩张
IS-LM + AD + 挤出效应
新古典增长模型：稳态与增长率

Hello Economics